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Theorem grothprim 8424
Description: The Tarksi-Grothendieck Axiom ax-groth 8413 expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols  /\,  \/,  <->, and  E.). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
grothprim  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )  /\  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, t, h, g

Proof of Theorem grothprim
StepHypRef Expression
1 axgroth4 8422 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 3anass 943 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
3 dfss2 3144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
C_  z  <->  A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z ) )
4 elin 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( y  i^i  v )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) )
53, 4imbi12i 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) )
65albii 1554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) )
76rexbii 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  E. v  e.  y 
A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) )
8 df-rex 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  y  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) )  <->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )
97, 8bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )
109ralbii 2542 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  A. z  e.  y  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )
11 df-ral 2523 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  E. v ( v  e.  y  /\  A. w
( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )  <->  A. z
( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) ) )
1210, 11bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  A. z ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) ) )
13 dfss2 3144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  <->  A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  y ) )
14 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
15 difexg 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  \  z )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
\  z )  e. 
_V
17 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
18 incom 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  \  z )  i^i  z )  =  ( z  i^i  (
y  \  z )
)
19 disjdif 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  i^i  ( y  \ 
z ) )  =  (/)
2018, 19eqtri 2278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  \  z )  i^i  z )  =  (/)
2116, 17, 20brdom6disj 8125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  \  z )  ~<_  z  <->  E. w ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w ) )
2221orbi1i 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  ( E. w ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) )
23 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w  z  e.  y
242319.44 1796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y )  <-> 
( E. w ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) )
2522, 24bitr4i 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  E. w
( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) )
2613, 25imbi12i 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  E. w
( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) ) )
27 19.35 1599 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  (
( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  E. w
( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) ) )
2826, 27bitr4i 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  (
( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) ) )
29 grothprimlem 8423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { v ,  u }  e.  w  <->  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) ) )
3029mobii 2154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E* u { v ,  u }  e.  w  <->  E* u E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) ) )
31 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ t E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )
3231mo2 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E* u E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  <->  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )
3330, 32bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E* u { v ,  u }  e.  w  <->  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )
3433ralbii 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  <->  A. v  e.  z  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )
35 df-ral 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v  e.  z  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t )  <->  A. v ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) ) )
3634, 35bitri 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  <->  A. v
( v  e.  z  ->  E. t A. u
( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) ) )
37 df-ral 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v  e.  ( y  \  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  A. v
( v  e.  ( y  \  z )  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w ) )
38 eldif 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ( y  \ 
z )  <->  ( v  e.  y  /\  -.  v  e.  z ) )
39 grothprimlem 8423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { u ,  v }  e.  w  <->  E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) )
4039rexbii 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  E. u  e.  z  E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) )
41 df-rex 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  z  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) )  <->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) )
4240, 41bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) )
4338, 42imbi12i 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ( y 
\  z )  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  <-> 
( ( v  e.  y  /\  -.  v  e.  z )  ->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) )
44 pm5.6 883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( v  e.  y  /\  -.  v  e.  z )  ->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) )  <->  ( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4543, 44bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ( y 
\  z )  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  <-> 
( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4645albii 1554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v ( v  e.  ( y  \  z
)  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  <->  A. v
( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4737, 46bitri 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. v  e.  ( y  \  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  A. v
( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4836, 47anbi12i 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  <->  ( A. v
( v  e.  z  ->  E. t A. u
( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  A. v ( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) ) )
49 19.26 1592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  <->  ( A. v ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  A. v ( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) ) )
5048, 49bitr4i 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  <->  A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) ) )
5150orbi1i 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y )  <->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) )
5251imbi2i 305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z ) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) )  <->  ( (
w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u
( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5352exbii 1580 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  (
( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) )  <->  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5428, 53bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5554albii 1554 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5612, 55anbi12i 681 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  A. z E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
57 19.26 1592 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  A. z E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
5856, 57bitr4i 245 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  A. z
( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
5958anbi2i 678 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )  <-> 
( x  e.  y  /\  A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )  /\  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
602, 59bitri 242 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
6160exbii 1580 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  A. z
( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
621, 61mpbi 201 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )  /\  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E*wmo 2119   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    \ cdif 3124    i^i cin 3126    C_ wss 3127   (/)c0 3430   {cpr 3615   class class class wbr 3997    ~<_ cdom 6829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-ac2 8057  ax-groth 8413
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-ac 7711  df-cda 7762
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