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Theorem grothpw 7879
Description: Derive the Axiom of Power Sets ax-pow 3755 from the Tarksi-Grothendieck axiom ax-groth 7876. That it follows is mentioned by Bob Solovay at http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html. Note that ax-pow 3755 is not used by the proof. (Contributed by Gérard Lang, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
grothpw  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem grothpw
StepHypRef Expression
1 axgroth5 7877 . . 3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 simpl 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  ->  ~P z  C_  y )
32ralimi 2345 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  A. z  e.  y  ~P z  C_  y
)
4 pweq 3249 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ~P z  =  ~P x
)
54sseq1d 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P x  C_  y ) )
65rcla4cv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  (
x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
73, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
87anim2i 546 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) ) )
983adant3 934 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) ) )
10 pm3.35 564 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) )  ->  ~P x  C_  y )
11 vex 2483 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211ssex 3728 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  ->  ~P x  e.  _V )
139, 10, 123syl 18 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  ->  ~P x  e.  _V )
1413exlimiv 1872 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  ->  ~P x  e.  _V )
151, 14ax-mp 8 . 2  |-  ~P x  e.  _V
16 pwidg 3257 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ~P x  e.  ~P ~P x )
17 pweq 3249 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  ->  ~P y  =  ~P ~P x )
1817eleq2d 2136 . . . . . 6  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( ~P x  e. 
~P y  <->  ~P x  e.  ~P ~P x ) )
1918cla4egv 2551 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ( ~P x  e.  ~P ~P x  ->  E. y ~P x  e.  ~P y ) )
2016, 19mpd 14 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  E. y ~P x  e. 
~P y )
21 elex 2488 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2221exlimiv 1872 . . . 4  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2320, 22impbii 178 . . 3  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y ~P x  e.  ~P y )
2411elpw2 3737 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  ~P x  C_  y )
25 pwss 3259 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
26 dfss2 2812 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  x  <->  A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
) )
2726imbi1i 313 . . . . . 6  |-  ( ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2827albii 1465 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2924, 25, 283bitri 260 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3029exbii 1484 . . 3  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3123, 30bitri 238 . 2  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3215, 31mpbi 197 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 355    /\ wa 356    /\ w3a 896   A.wal 1445   E.wex 1450    = wceq 1524    e. wcel 1526   A.wral 2279   E.wrex 2280   _Vcvv 2480    C_ wss 2798   ~Pcpw 3246   class class class wbr 3596    ~~ cen 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1446  ax-6 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-8 1528  ax-11 1529  ax-17 1533  ax-12o 1567  ax-10 1581  ax-9 1587  ax-4 1594  ax-16 1780  ax-ext 2051  ax-sep 3711  ax-groth 7876
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3an 898  df-ex 1451  df-sb 1741  df-clab 2057  df-cleq 2062  df-clel 2065  df-ral 2283  df-rex 2284  df-v 2482  df-in 2805  df-ss 2809  df-pw 3248
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