HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem grothpw 7848
Description: Derive the Axiom of Power Sets ax-pow 3759 from the Tarksi-Grothendieck axiom ax-groth 7845. That it follows is mentioned by Bob Solovay at http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html. Note that ax-pow 3759 is not used by the proof. (Contributed by Gérard Lang, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
grothpw  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem grothpw
StepHypRef Expression
1 ax-groth 7845 . . . 4  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
2 biid 225 . . . . . 6  |-  ( x  e.  y  <->  x  e.  y
)
3 dfss2 2824 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  C_  y  <->  A. w
( w  e.  ~P z  ->  w  e.  y ) )
4 df-pw 3260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P z  =  { w  |  w 
C_  z }
54abeq2i 2183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P z  <->  w  C_  z
)
65imbi1i 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
w  e.  ~P z  ->  w  e.  y )  <-> 
( w  C_  z  ->  w  e.  y ) )
76albii 1470 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( w  e. 
~P z  ->  w  e.  y )  <->  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y ) )
83, 7bitri 238 . . . . . . . 8  |-  ( ~P z  C_  y  <->  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y ) )
9 dfss2 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P z  C_  w  <->  A. v
( v  e.  ~P z  ->  v  e.  w
) )
10 df-pw 3260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P z  =  { v  |  v 
C_  z }
1110abeq2i 2183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ~P z  <->  v  C_  z )
1211imbi1i 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
v  e.  ~P z  ->  v  e.  w )  <-> 
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
1312albii 1470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v ( v  e. 
~P z  ->  v  e.  w )  <->  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
149, 13bitri 238 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  C_  w  <->  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
1514rexbii 2314 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  y  ~P z  C_  w  <->  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
168, 15anbi12i 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  <->  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )
1716ralbii 2313 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  <->  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )
18 df-ral 2295 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
)  <->  A. z ( z  e.  ~P y  -> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
19 vex 2495 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  _V
2019elpw 3264 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P y  <->  z  C_  y )
2120imbi1i 313 . . . . . . . 8  |-  ( (
z  e.  ~P y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
2221albii 1470 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  e. 
~P y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
)  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
) )
2318, 22bitri 238 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
)  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
) )
242, 17, 233anbi123i 1108 . . . . 5  |-  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) ) )
2524exbii 1491 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) ) )
261, 25mpbir 198 . . 3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
27 simpl 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  ~P z  C_  y
)
2827ralimi 2357 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  A. z  e.  y  ~P z  C_  y
)
29 pweq 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ~P z  =  ~P x )
3029sseq1d 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P x  C_  y ) )
3130rcla4cv 2575 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  (
x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
3228, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
3332anim2i 547 . . . . . 6  |-  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) ) )
34333adant3 941 . . . . 5  |-  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) ) )
35 pm3.35 565 . . . . 5  |-  ( (
x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) )  ->  ~P x  C_  y )
36 vex 2495 . . . . . 6  |-  y  e.  _V
3736ssex 3732 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  ->  ~P x  e.  _V )
3834, 35, 373syl 18 . . . 4  |-  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  ->  ~P x  e.  _V )
3938exlimiv 1885 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  ->  ~P x  e.  _V )
4026, 39ax-mp 8 . 2  |-  ~P x  e.  _V
41 ssid 2850 . . . . . 6  |-  ~P x  C_ 
~P x
42 elpwg 3265 . . . . . 6  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ( ~P x  e.  ~P ~P x  <->  ~P x  C_  ~P x ) )
4341, 42mpbiri 222 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ~P x  e.  ~P ~P x )
44 pweq 3261 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  ->  ~P y  =  ~P ~P x )
4544eleq2d 2148 . . . . . 6  |-  ( y  =  ~P x  ->  ( ~P x  e.  ~P y 
<->  ~P x  e.  ~P ~P x ) )
4645cla4egv 2563 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ( ~P x  e.  ~P ~P x  ->  E. y ~P x  e.  ~P y ) )
4743, 46mpd 14 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  E. y ~P x  e. 
~P y )
48 elex 2500 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  ->  ~P x  e.  _V )
4948exlimiv 1885 . . . 4  |-  ( E. y ~P x  e.  ~P y  ->  ~P x  e. 
_V )
5047, 49impbii 178 . . 3  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y ~P x  e.  ~P y )
5136elpw2 3741 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  ~P x  C_  y )
52 dfss2 2824 . . . . . 6  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( z  e.  ~P x  ->  z  e.  y ) )
53 df-pw 3260 . . . . . . . . 9  |-  ~P x  =  { z  |  z 
C_  x }
5453abeq2i 2183 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
5554imbi1i 313 . . . . . . 7  |-  ( (
z  e.  ~P x  ->  z  e.  y )  <-> 
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
5655albii 1470 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  e. 
~P x  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
5752, 56bitri 238 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
58 dfss2 2824 . . . . . . 7  |-  ( z  C_  x  <->  A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x ) )
5958imbi1i 313 . . . . . 6  |-  ( (
z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
6059albii 1470 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
6151, 57, 603bitri 260 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
6261exbii 1491 . . 3  |-  ( E. y ~P x  e.  ~P y 
<->  E. y A. z
( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
6350, 62bitri 238 . 2  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
6440, 63mpbi 197 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 356    /\ wa 357    /\ w3a 903   A.wal 1450   E.wex 1455    = wceq 1536    e. wcel 1538   A.wral 2291   E.wrex 2292   _Vcvv 2492    C_ wss 2810   ~Pcpw 3258   class class class wbr 3600    ~~ cen 6285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1451  ax-6 1452  ax-7 1453  ax-gen 1454  ax-8 1540  ax-11 1541  ax-17 1545  ax-12o 1578  ax-10 1592  ax-9 1598  ax-4 1606  ax-16 1793  ax-ext 2064  ax-sep 3715  ax-groth 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3an 905  df-ex 1456  df-sb 1754  df-clab 2070  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-ral 2295  df-rex 2296  df-v 2494  df-in 2817  df-ss 2821  df-pw 3260
Copyright terms: Public domain