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Theorem grothpw 8325
Description: Derive the Axiom of Power Sets ax-pow 4079 from the Tarksi-Grothendieck axiom ax-groth 8322. That it follows is mentioned by Bob Solovay at http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html. Note that ax-pow 4079 is not used by the proof. (Contributed by Gérard Lang, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
grothpw  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem grothpw
StepHypRef Expression
1 axgroth5 8323 . . 3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  ->  ~P z  C_  y )
32ralimi 2578 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  A. z  e.  y  ~P z  C_  y
)
4 pweq 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ~P z  =  ~P x
)
54sseq1d 3123 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P x  C_  y ) )
65rcla4cv 2816 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  (
x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
73, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
87anim2i 555 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) ) )
983adant3 980 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) ) )
10 pm3.35 573 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) )  ->  ~P x  C_  y )
11 vex 2728 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211ssex 4052 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  ->  ~P x  e.  _V )
139, 10, 123syl 20 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  ->  ~P x  e.  _V )
1413exlimiv 2023 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  ->  ~P x  e.  _V )
151, 14ax-mp 10 . 2  |-  ~P x  e.  _V
16 pwidg 3538 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ~P x  e.  ~P ~P x )
17 pweq 3530 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  ->  ~P y  =  ~P ~P x )
1817eleq2d 2320 . . . . . 6  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( ~P x  e. 
~P y  <->  ~P x  e.  ~P ~P x ) )
1918cla4egv 2804 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ( ~P x  e.  ~P ~P x  ->  E. y ~P x  e.  ~P y ) )
2016, 19mpd 16 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  E. y ~P x  e. 
~P y )
21 elex 2733 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2221exlimiv 2023 . . . 4  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2320, 22impbii 182 . . 3  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y ~P x  e.  ~P y )
2411elpw2 4061 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  ~P x  C_  y )
25 pwss 3540 . . . . . 6  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
26 dfss2 3089 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  x  <->  A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
) )
2726imbi1i 317 . . . . . . 7  |-  ( ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2827albii 1554 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2925, 28bitri 242 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
3024, 29bitri 242 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3130exbii 1580 . . 3  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3223, 31bitri 242 . 2  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3315, 32mpbi 201 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2507   E.wrex 2508   _Vcvv 2725    C_ wss 3075   ~Pcpw 3527   class class class wbr 3917    ~~ cen 6743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4035  ax-groth 8322
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ral 2511  df-rex 2512  df-v 2727  df-in 3082  df-ss 3086  df-pw 3529
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