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Theorem grothpw 7869
Description: Derive the Axiom of Power Sets ax-pow 3745 from the Tarksi-Grothendieck axiom ax-groth 7866. That it follows is mentioned by Bob Solovay at http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html. Note that ax-pow 3745 is not used by the proof. (Contributed by Gérard Lang, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
grothpw  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem grothpw
StepHypRef Expression
1 axgroth5 7867 . . 3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 simpl 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  ->  ~P z  C_  y )
32ralimi 2340 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  A. z  e.  y  ~P z  C_  y
)
4 pweq 3244 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ~P z  =  ~P x
)
54sseq1d 2841 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P x  C_  y ) )
65rcla4cv 2558 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  (
x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
73, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
87anim2i 546 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) ) )
983adant3 934 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) ) )
10 pm3.35 564 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) )  ->  ~P x  C_  y )
11 vex 2478 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211ssex 3718 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  ->  ~P x  e.  _V )
139, 10, 123syl 18 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  ->  ~P x  e.  _V )
1413exlimiv 1867 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  ->  ~P x  e.  _V )
151, 14ax-mp 8 . 2  |-  ~P x  e.  _V
16 pwidg 3252 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ~P x  e.  ~P ~P x )
17 pweq 3244 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  ->  ~P y  =  ~P ~P x )
1817eleq2d 2131 . . . . . 6  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( ~P x  e. 
~P y  <->  ~P x  e.  ~P ~P x ) )
1918cla4egv 2546 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ( ~P x  e.  ~P ~P x  ->  E. y ~P x  e.  ~P y ) )
2016, 19mpd 14 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  E. y ~P x  e. 
~P y )
21 elex 2483 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2221exlimiv 1867 . . . 4  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2320, 22impbii 178 . . 3  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y ~P x  e.  ~P y )
2411elpw2 3727 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  ~P x  C_  y )
25 pwss 3254 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
26 dfss2 2807 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  x  <->  A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
) )
2726imbi1i 313 . . . . . 6  |-  ( ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2827albii 1461 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2924, 25, 283bitri 260 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3029exbii 1480 . . 3  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3123, 30bitri 238 . 2  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3215, 31mpbi 197 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 355    /\ wa 356    /\ w3a 896   A.wal 1441   E.wex 1446    = wceq 1520    e. wcel 1522   A.wral 2274   E.wrex 2275   _Vcvv 2475    C_ wss 2793   ~Pcpw 3241   class class class wbr 3586    ~~ cen 6298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-17 1529  ax-12o 1562  ax-10 1576  ax-9 1582  ax-4 1589  ax-16 1775  ax-ext 2046  ax-sep 3701  ax-groth 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3an 898  df-ex 1447  df-sb 1736  df-clab 2052  df-cleq 2057  df-clel 2060  df-ral 2278  df-rex 2279  df-v 2477  df-in 2800  df-ss 2804  df-pw 3243
Copyright terms: Public domain