Theorem grp2inv 10384

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55.

Hypotheses

Ref	Expression
grpasscan1.1	|- X = ran G
grpasscan1.2	|- N = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
grp2inv	|- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> (N` (N` A)) = A)

Proof of Theorem grp2inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpasscan1.1	. . . . 5 |- X = ran G
2		grpasscan1.2	. . . . 5 |- N = (inv` G)
3	1, 2	grpoinvcl 10373	. . . 4 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> (N` A) e. X)
4		eqid 2170	. . . . 5 |- (Id` G) = (Id` G)
5	1, 4, 2	grporinv 10376	. . . 4 |- ((G e. GrpOp /\ (N` A) e. X) -> ((N` A)G(N` (N` A))) = (Id` G))
6	3, 5	syldan 691	. . 3 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> ((N` A)G(N` (N` A))) = (Id` G))
7	1, 4, 2	grpolinv 10375	. . 3 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> ((N` A)GA) = (Id` G))
8	6, 7	eqtr4d 2205	. 2 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> ((N` A)G(N` (N` A))) = ((N` A)GA))
9	1, 2	grpoinvcl 10373	. . . . 5 |- ((G e. GrpOp /\ (N` A) e. X) -> (N` (N` A)) e. X)
10	3, 9	syldan 691	. . . 4 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> (N` (N` A)) e. X)
11		simpr 538	. . . 4 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> A e. X)
12	10, 11, 3	3jca 1328	. . 3 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> ((N` (N` A)) e. X /\ A e. X /\ (N` A) e. X))
13	1	grpolcan 10380	. . 3 |- ((G e. GrpOp /\ ((N` (N` A)) e. X /\ A e. X /\ (N` A) e. X)) -> (((N` A)G(N` (N` A))) = ((N` A)GA) <-> (N` (N` A)) = A))
14	12, 13	syldan 691	. 2 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> (((N` A)G(N` (N` A))) = ((N` A)GA) <-> (N` (N` A)) = A))
15	8, 14	mpbid 256	1 |- ((G e. GrpOp /\ A e. X) -> (N` (N` A)) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 231   /\ wa 433   /\ w3a 1130   = wceq 1615   e. wcel 1617  ran crn 4152  ` cfv 4163  (class class class)co 5020  GrpOpcgr 10329  Idcgi 10330  invcgn 10331

This theorem is referenced by:  grpinvf 10385  grpdivinv 10389  grpinvdiv 10390  gxneg 10410  gxneg2 10411  gxinv2 10415  gxsuc 10416  gxmul 10422  nvnegneg 10624  ghomf1olem 14621  mult2inv 15787  vec2inv 15818

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-op 3278  df-uni 3399  df-br 3540  df-opab 3598  df-id 3779  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-opr 5022  df-grpo 10334  df-gid 10335  df-ginv 10336

Copyright terms: Public domain