Theorem grp2inv 8074

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55.

Hypotheses

Ref	Expression
grpasscan1.1	|- X = ran G
grpasscan1.2	|- N = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
grp2inv	|- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` (N` A)) = A)

Proof of Theorem grp2inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpasscan1.1	. . . . 5 |- X = ran G
2		grpasscan1.2	. . . . 5 |- N = (inv` G)
3	1, 2	grpinvcl 8064	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` A) e. X)
4		eqid 1478	. . . . 5 |- (Id` G) = (Id` G)
5	1, 4, 2	grprinv 8067	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ (N` A) e. X) -> ((N` A)G(N` (N` A))) = (Id` G))
6	3, 5	syldan 469	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((N` A)G(N` (N` A))) = (Id` G))
7	1, 4, 2	grplinv 8066	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((N` A)GA) = (Id` G))
8	6, 7	eqtr4d 1513	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((N` A)G(N` (N` A))) = ((N` A)GA))
9	1, 2	grpinvcl 8064	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ (N` A) e. X) -> (N` (N` A)) e. X)
10	3, 9	syldan 469	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` (N` A)) e. X)
11		pm3.27 323	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> A e. X)
12	10, 11, 3	3jca 821	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((N` (N` A)) e. X /\ A e. X /\ (N` A) e. X))
13	1	grplcan 8071	. . 3 |- ((G e. Grp /\ ((N` (N` A)) e. X /\ A e. X /\ (N` A) e. X)) -> (((N` A)G(N` (N` A))) = ((N` A)GA) <-> (N` (N` A)) = A))
14	12, 13	syldan 469	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (((N` A)G(N` (N` A))) = ((N` A)GA) <-> (N` (N` A)) = A))
15	8, 14	mpbid 195	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` (N` A)) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ran crn 3177  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030  Idcgi 8031  invcgn 8032

This theorem is referenced by:  grpinvf 8075  grpdivinv 8079  grpinvdiv 8080  nvnegneg 8267  ghomf1olem 10391

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036

Copyright terms: Public domain