Theorem grpcl 8041

Description: Closure law for a group operation.

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprrn 4041	. 2 |- ((G:(X X. X)-->X /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
2		grpfo.1	. . . 4 |- X = ran G
3	2	grpfo 8040	. . 3 |- (G e. Grp -> G:(X X. X)-onto->X)
4		fof 3678	. . 3 |- (G:(X X. X)-onto->X -> G:(X X. X)-->X)
5	3, 4	syl 10	. 2 |- (G e. Grp -> G:(X X. X)-->X)
6	1, 5	syl3an1 861	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   X. cxp 3174  ran crn 3177  -->wf 3184  -onto->wfo 3186  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030

This theorem is referenced by:  grpidinvlem2 8046  grpidinvlem3 8047  grpinvop 8076  grpdivf 8081  grpmuldivass 8084  grppnpcan2 8088  grplactf1o 8094  abl4 8101  ghgrpilem3 8131  ghgrpilem4 8132  ghsubgi 8134  ringgcl 8148  vcgcl 8174  nvgcl 8235  ghomgrpilem2 10381  ghomsn 10383  ghomf1olem 10391  cayleylem2 10405

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-grp 8034

Copyright terms: Public domain