Theorem grpidcl 8059

Description: The identity element of a group belongs to the group.

Hypotheses

Ref	Expression
grpidval.1	|- X = ran G
grpidval.2	|- U = (Id` G)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- (G e. Grp -> U e. X)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidval.1	. . 3 |- X = ran G
2		grpidval.2	. . 3 |- U = (Id` G)
3	1, 2	grpidval 8058	. 2 |- (G e. Grp -> U = U.{u e. X | A.x e. X (uGx) = x})
4	1	grpideu 8053	. . 3 |- (G e. Grp -> E!u e. X A.x e. X (uGx) = x)
5		reucl 2885	. . 3 |- (E!u e. X A.x e. X (uGx) = x -> U.{u e. X | A.x e. X (uGx) = x} e. X)
6	4, 5	syl 10	. 2 |- (G e. Grp -> U.{u e. X | A.x e. X (uGx) = x} e. X)
7	3, 6	eqeltrd 1548	1 |- (G e. Grp -> U e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E!wreu 1647  {crab 1648  U.cuni 2503  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Grpcgr 8033  Idcgi 8034

This theorem is referenced by:  grpidinv2 8060  grpid 8065  grpinvid 8074  subgid 8120  ghgrpilem4 8136  ring0cl 8159  vczcl 8185  nvzcl 8255  ghomgrpilem2 10386  ghomid 10394  ghomf1olem 10396  cayleylem3 10411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-grp 8037  df-gid 8038

Copyright terms: Public domain