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Theorem grpideu 10257
Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55.
Hypotheses
Ref Expression
grplem1.b
grplem1.p
Assertion
Ref Expression
grpideu
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem grpideu
StepHypRef Expression
1 grplem1.b . . . 4
2 grplem1.p . . . 4
31, 2grpidinv 10256 . . 3
4 simpll 717 . . . . . . . . 9
54ralimi 2204 . . . . . . . 8
6 oveq2 4930 . . . . . . . . . 10
7 id 18 . . . . . . . . . 10
86, 7eqeq12d 1943 . . . . . . . . 9
98cbvralv 2319 . . . . . . . 8
105, 9sylib 186 . . . . . . 7
1110adantl 449 . . . . . 6
1210ad2antlr 710 . . . . . . . 8
13 simpr 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413ralimi 2204 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 oveq2 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1615eqeq1d 1937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 oveq1 4929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1817eqeq1d 1937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1916, 18anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2019rexbidv 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120rcla4va 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
2314, 22sylan2 457 . . . . . . . . . . . . . 14
241, 2grpidinvlem4 10255 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syldan 453 . . . . . . . . . . . . 13
2625an32s 749 . . . . . . . . . . . 12
2726adantllr 701 . . . . . . . . . . 11
2827adantr 448 . . . . . . . . . 10
29 oveq2 4930 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 id 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30eqeq12d 1943 . . . . . . . . . . . . . 14
3231rcla4va 2419 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantll 696 . . . . . . . . . . . 12
3433ad2ant2rl 716 . . . . . . . . . . 11
3534adantllr 701 . . . . . . . . . 10
36 oveq2 4930 . . . . . . . . . . . . 13
37 id 18 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37eqeq12d 1943 . . . . . . . . . . . 12
3938rcla4va 2419 . . . . . . . . . . 11
4039ad2ant2lr 715 . . . . . . . . . 10
4128, 35, 403eqtr3d 1969 . . . . . . . . 9
4241ex 423 . . . . . . . 8
4312, 42mpand 655 . . . . . . 7
4443ralrimiva 2212 . . . . . 6
4511, 44jca 517 . . . . 5
4645ex 423 . . . 4
4746reximdva 2241 . . 3
483, 47mpd 13 . 2
49 oveq1 4929 . . . . 5
5049eqeq1d 1937 . . . 4
5150ralbidv 2156 . . 3
5251reu8 2498 . 2
5348, 52sylibr 201 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1425   wcel 1427  wral 2138  wrex 2139  wreu 2140  cfv 4003  (class class class)co 4924  cbs 10015   cplusg 10223  cgrp 10224
This theorem is referenced by:  grpidcl 10266  grpidinv2 10267  isgrpid 10270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1342  ax-6 1343  ax-7 1344  ax-gen 1345  ax-8 1429  ax-10 1430  ax-11 1431  ax-12 1432  ax-13 1433  ax-14 1434  ax-17 1441  ax-9 1456  ax-4 1462  ax-16 1640  ax-ext 1911  ax-sep 3454  ax-nul 3463  ax-pr 3523  ax-un 3795
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 361  df-an 362  df-3an 914  df-ex 1347  df-sb 1602  df-eu 1829  df-mo 1830  df-clab 1917  df-cleq 1922  df-clel 1925  df-ne 2049  df-ral 2142  df-rex 2143  df-reu 2144  df-v 2337  df-dif 2637  df-un 2639  df-in 2641  df-ss 2643  df-nul 2900  df-sn 3080  df-pr 3081  df-op 3083  df-uni 3214  df-br 3359  df-opab 3413  df-xp 4005  df-cnv 4007  df-dm 4009  df-rn 4010  df-res 4011  df-ima 4012  df-fv 4019  df-ov 4926  df-grp 10230
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