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Theorem grpinvadd 14538
Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinvadd.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
2 simp2 961 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 962 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 grpinvadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpinvadd.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  G )
64, 5grpinvcl 14521 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
763adant2 979 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
84, 5grpinvcl 14521 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
983adant3 980 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 grpinvadd.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
114, 10grpcl 14489 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  Y )  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )
121, 7, 9, 11syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B )
134, 10grpass 14490 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) ) )
141, 2, 3, 12, 13syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
164, 10, 15, 5grprinv 14523 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
17163adant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
1817oveq1d 5834 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( N `  X ) ) )
194, 10grpass 14490 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  ( N `  Y
)  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `  X ) )  =  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )
201, 3, 7, 9, 19syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( Y  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) ) )
214, 10, 15grplid 14506 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
221, 9, 21syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
2318, 20, 223eqtr3d 2324 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
2423oveq2d 5835 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )  =  ( X  .+  ( N `  X )
) )
254, 10, 15, 5grprinv 14523 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
26253adant3 980 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
2714, 24, 263eqtrd 2320 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
284, 10grpcl 14489 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
294, 10, 15, 5grpinvid1 14524 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
301, 28, 12, 29syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
3127, 30mpbird 225 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Basecbs 13142   +g cplusg 13202   0gc0g 13394   Grpcgrp 14356   inv gcminusg 14357
This theorem is referenced by:  grpinvsub  14542  mulgdir  14586  eqger  14661  eqgcpbl  14665  invoppggim  14827  sylow2blem1  14925  lsmsubg  14959  ablinvadd  15105  ablsub2inv  15106  invghm  15124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-iota 6252  df-riota 6299  df-0g 13398  df-mnd 14361  df-grp 14483  df-minusg 14484
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