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Theorem grpinvadd 14593
Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinvadd.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
2 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 grpinvadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpinvadd.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  G )
64, 5grpinvcl 14576 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
763adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
84, 5grpinvcl 14576 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
983adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 grpinvadd.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
114, 10grpcl 14544 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  Y )  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )
121, 7, 9, 11syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B )
134, 10grpass 14545 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) ) )
141, 2, 3, 12, 13syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
164, 10, 15, 5grprinv 14578 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
17163adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
1817oveq1d 5915 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( N `  X ) ) )
194, 10grpass 14545 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  ( N `  Y
)  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `  X ) )  =  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )
201, 3, 7, 9, 19syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( Y  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) ) )
214, 10, 15grplid 14561 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
221, 9, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
2318, 20, 223eqtr3d 2356 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
2423oveq2d 5916 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )  =  ( X  .+  ( N `  X )
) )
254, 10, 15, 5grprinv 14578 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
26253adant3 975 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
2714, 24, 263eqtrd 2352 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
284, 10grpcl 14544 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
294, 10, 15, 5grpinvid1 14579 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
301, 28, 12, 29syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
3127, 30mpbird 223 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   0gc0g 13449   Grpcgrp 14411   inv gcminusg 14412
This theorem is referenced by:  grpinvsub  14597  mulgdir  14641  eqger  14716  eqgcpbl  14720  invoppggim  14882  sylow2blem1  14980  lsmsubg  15014  ablinvadd  15160  ablsub2inv  15161  invghm  15179  rdivmuldivd  23517  dvrcan5  23519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-riota 6346  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539
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