Theorem grpinvdiv 8084

Description: Inverse of a group division.

Hypotheses

Ref	Expression
grpdiv.1	|- X = ran G
grpdiv.2	|- N = (inv` G)
grpdiv.3	|- D = ( /g ` G)

Assertion

Ref	Expression
grpinvdiv	|- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (ADB)) = (BDA))

Proof of Theorem grpinvdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpdiv.1	. . . 4 |- X = ran G
2		grpdiv.2	. . . 4 |- N = (inv` G)
3		grpdiv.3	. . . 4 |- D = ( /g ` G)
4	1, 2, 3	grpdivval 8082	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (AG(N` B)))
5	4	fveq2d 3728	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (ADB)) = (N` (AG(N` B))))
6	1, 2	grpinvop 8080	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (N` B) e. X) -> (N` (AG(N` B))) = ((N` (N` B))G(N` A)))
7	1, 2	grpinvcl 8068	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ B e. X) -> (N` B) e. X)
8	7	3adant2 798	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` B) e. X)
9	6, 8	syld3an3 870	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AG(N` B))) = ((N` (N` B))G(N` A)))
10	1, 2	grp2inv 8078	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ B e. X) -> (N` (N` B)) = B)
11	10	3adant2 798	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (N` B)) = B)
12	11	opreq1d 3975	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N` (N` B))G(N` A)) = (BG(N` A)))
13	1, 2, 3	grpdivval 8082	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) = (BG(N` A)))
14	13	3com23 839	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) = (BG(N` A)))
15	12, 14	eqtr4d 1510	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N` (N` B))G(N` A)) = (BDA))
16	5, 9, 15	3eqtrd 1511	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (ADB)) = (BDA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Grpcgr 8033  invcgn 8035   /g cgs 8036

This theorem is referenced by:  grpdivdiv 8087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040

Copyright terms: Public domain