HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem grpinveu 10245
Description: The left inverse element of a group is unique. Lemma 2.2.1(b) of [Herstein] p. 55.
Hypotheses
Ref Expression
grpinveu.b |- B = (Base` G)
grpinveu.p |- P = (+g ` G)
grpinveu.o |- O = (0g` G)
Assertion
Ref Expression
grpinveu |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,P   y,O   y,X

Proof of Theorem grpinveu
StepHypRef Expression
1 grpinveu.b . . . . 5 |- B = (Base` G)
2 grpinveu.p . . . . 5 |- P = (+g ` G)
3 grpinveu.o . . . . 5 |- O = (0g` G)
41, 2, 3grpidinv2 10240 . . . 4 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)))
5 simpl 439 . . . . . 6 |- (((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> (yPX) = O)
65reximi 2238 . . . . 5 |- (E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> E.y e. B (yPX) = O)
76adantl 449 . . . 4 |- ((((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)) -> E.y e. B (yPX) = O)
84, 7syl 14 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B (yPX) = O)
9 eqtr3 1951 . . . . . . . . . . . 12 |- (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> (yPX) = (zPX))
101, 2grprcan 10244 . . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> ((yPX) = (zPX) <-> y = z))
119, 10syl5ib 209 . . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
12113exp2 1144 . . . . . . . . . 10 |- (G e. Grp -> (y e. B -> (z e. B -> (X e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1312com24 80 . . . . . . . . 9 |- (G e. Grp -> (X e. B -> (z e. B -> (y e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1413imp41 572 . . . . . . . 8 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ z e. B) /\ y e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1514an32s 748 . . . . . . 7 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1615exp3a 424 . . . . . 6 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> ((yPX) = O -> ((zPX) = O -> y = z)))
1716ralrimdva 2221 . . . . 5 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
1817ancld 533 . . . 4 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
1918reximdva 2243 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (E.y e. B (yPX) = O -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
208, 19mpd 13 . 2 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
21 oveq1 4919 . . . 4 |- (y = z -> (yPX) = (zPX))
2221eqeq1d 1940 . . 3 |- (y = z -> ((yPX) = O <-> (zPX) = O))
2322reu8 2500 . 2 |- (E!y e. B (yPX) = O <-> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
2420, 23sylibr 202 1 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 357   /\ w3a 915   = wceq 1428   e. wcel 1430  A.wral 2141  E.wrex 2142  E!wreu 2143  ` cfv 3999  (class class class)co 4914  Basecbs 9988  +g cplusg 10196  Grpcgrp 10197  0gc0g 10198
This theorem is referenced by:  grpinvcl 10253  grpinv 10254  isgrpinv 10259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1345  ax-6 1346  ax-7 1347  ax-gen 1348  ax-8 1432  ax-10 1433  ax-11 1434  ax-12 1435  ax-13 1436  ax-14 1437  ax-17 1444  ax-9 1459  ax-4 1465  ax-16 1643  ax-ext 1914  ax-sep 3450  ax-nul 3459  ax-pr 3519  ax-un 3791
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3an 917  df-ex 1350  df-sb 1605  df-eu 1832  df-mo 1833  df-clab 1920  df-cleq 1925  df-clel 1928  df-ne 2052  df-ral 2145  df-rex 2146  df-reu 2147  df-rab 2148  df-v 2339  df-sbc 2504  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2645  df-nul 2901  df-if 3002  df-sn 3077  df-pr 3078  df-op 3080  df-uni 3210  df-br 3355  df-opab 3409  df-id 3607  df-xp 4001  df-rel 4002  df-cnv 4003  df-co 4004  df-dm 4005  df-rn 4006  df-res 4007  df-ima 4008  df-fun 4009  df-fv 4015  df-ov 4916  df-mpt 5051  df-iota 5254  df-riota 5802  df-grp 10203  df-0g 10204
Copyright terms: Public domain