HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem grpinveu 10172
Description: The left inverse element of a group is unique. Lemma 2.2.1(b) of [Herstein] p. 55.
Hypotheses
Ref Expression
grpinveu.b |- B = (Base` G)
grpinveu.p |- P = (+g` G)
grpinveu.o |- O = (0g` G)
Assertion
Ref Expression
grpinveu |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,P   y,O   y,X

Proof of Theorem grpinveu
StepHypRef Expression
1 grpinveu.b . . . . 5 |- B = (Base` G)
2 grpinveu.p . . . . 5 |- P = (+g` G)
3 grpinveu.o . . . . 5 |- O = (0g` G)
41, 2, 3grpidinv2 10167 . . . 4 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)))
5 simpl 507 . . . . . 6 |- (((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> (yPX) = O)
65reximi 2403 . . . . 5 |- (E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> E.y e. B (yPX) = O)
76adantl 517 . . . 4 |- ((((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)) -> E.y e. B (yPX) = O)
84, 7syl 13 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B (yPX) = O)
9 eqtr3 2111 . . . . . . . . . . . 12 |- (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> (yPX) = (zPX))
101, 2grprcan 10171 . . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> ((yPX) = (zPX) <-> y = z))
119, 10syl5ib 250 . . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
12113exp2 1264 . . . . . . . . . 10 |- (G e. Grp -> (y e. B -> (z e. B -> (X e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1312com24 89 . . . . . . . . 9 |- (G e. Grp -> (X e. B -> (z e. B -> (y e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1413imp41 666 . . . . . . . 8 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ z e. B) /\ y e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1514an32s 866 . . . . . . 7 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1615exp3a 487 . . . . . 6 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> ((yPX) = O -> ((zPX) = O -> y = z)))
1716ralrimdva 2387 . . . . 5 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
1817ancld 622 . . . 4 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
1918reximdva 2408 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (E.y e. B (yPX) = O -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
208, 19mpd 12 . 2 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
21 opreq1 5072 . . . 4 |- (y = z -> (yPX) = (zPX))
2221eqeq1d 2100 . . 3 |- (y = z -> ((yPX) = O <-> (zPX) = O))
2322reu8 2667 . 2 |- (E!y e. B (yPX) = O <-> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
2420, 23sylibr 241 1 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 418   /\ w3a 1037   = wceq 1592   e. wcel 1594  A.wral 2310  E.wrex 2311  E!wreu 2312  ` cfv 4149  (class class class)co 5067  Basecbs 9967  +gcplusg 10125  Grpcgrp 10126  0gc0g 10127
This theorem is referenced by:  grpinvcl 10178  grpinv 10179  isgrpinv 10184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1516  ax-6 1517  ax-7 1518  ax-gen 1519  ax-8 1596  ax-10 1597  ax-11 1598  ax-12 1599  ax-13 1600  ax-14 1601  ax-17 1608  ax-9 1620  ax-4 1626  ax-16 1803  ax-ext 2074  ax-sep 3609  ax-nul 3619  ax-pr 3679  ax-un 3947
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 419  df-an 420  df-3an 1039  df-ex 1521  df-sb 1765  df-eu 1992  df-mo 1993  df-clab 2080  df-cleq 2085  df-clel 2088  df-ne 2220  df-ral 2314  df-rex 2315  df-reu 2316  df-rab 2317  df-v 2501  df-sbc 2671  df-dif 2804  df-un 2806  df-in 2808  df-ss 2810  df-nul 3066  df-if 3166  df-sn 3237  df-pr 3238  df-op 3241  df-uni 3365  df-br 3510  df-opab 3568  df-id 3765  df-xp 4151  df-rel 4152  df-cnv 4153  df-co 4154  df-dm 4155  df-rn 4156  df-res 4157  df-ima 4158  df-fun 4159  df-fv 4165  df-opr 5069  df-mpt 5202  df-iota 5374  df-riota 5896  df-grp 10131  df-0g 10132
Copyright terms: Public domain