HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem grpinveu 10113
Description: The left inverse element of a group is unique. Lemma 2.2.1(b) of [Herstein] p. 55.
Hypotheses
Ref Expression
grpinveu.b |- B = (Base` G)
grpinveu.p |- P = ( +g ` G)
grpinveu.o |- O = (0g` G)
Assertion
Ref Expression
grpinveu |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,P   y,O   y,X

Proof of Theorem grpinveu
StepHypRef Expression
1 grpinveu.b . . . . 5 |- B = (Base` G)
2 grpinveu.p . . . . 5 |- P = ( +g ` G)
3 grpinveu.o . . . . 5 |- O = (0g` G)
41, 2, 3grpidinv2 10108 . . . 4 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)))
5 simpl 465 . . . . . 6 |- (((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> (yPX) = O)
65reximi 2266 . . . . 5 |- (E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> E.y e. B (yPX) = O)
76adantl 475 . . . 4 |- ((((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)) -> E.y e. B (yPX) = O)
84, 7syl 14 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B (yPX) = O)
9 eqtr3 1979 . . . . . . . . . . . 12 |- (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> (yPX) = (zPX))
101, 2grprcan 10112 . . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> ((yPX) = (zPX) <-> y = z))
119, 10syl5ib 228 . . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
12113exp2 1175 . . . . . . . . . 10 |- (G e. Grp -> (y e. B -> (z e. B -> (X e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1312com24 83 . . . . . . . . 9 |- (G e. Grp -> (X e. B -> (z e. B -> (y e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1413imp41 601 . . . . . . . 8 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ z e. B) /\ y e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1514an32s 778 . . . . . . 7 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1615exp3a 450 . . . . . 6 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> ((yPX) = O -> ((zPX) = O -> y = z)))
1716ralrimdva 2249 . . . . 5 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
1817ancld 560 . . . 4 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
1918reximdva 2271 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (E.y e. B (yPX) = O -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
208, 19mpd 13 . 2 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
21 oveq1 4929 . . . 4 |- (y = z -> (yPX) = (zPX))
2221eqeq1d 1968 . . 3 |- (y = z -> ((yPX) = O <-> (zPX) = O))
2322reu8 2528 . 2 |- (E!y e. B (yPX) = O <-> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
2420, 23sylibr 221 1 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 382   /\ w3a 946   = wceq 1457   e. wcel 1459  A.wral 2169  E.wrex 2170  E!wreu 2171  ` cfv 4012  (class class class)co 4924  Basecbs 9856   +g cplusg 10064  Grpcgrp 10065  0gc0g 10066
This theorem is referenced by:  grpinvcl 10121  grpinv 10122  isgrpinv 10127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-sep 3472  ax-nul 3481  ax-pr 3541  ax-un 3811
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3an 948  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-nul 2927  df-if 3028  df-sn 3099  df-pr 3100  df-op 3103  df-uni 3232  df-br 3377  df-opab 3431  df-id 3627  df-xp 4014  df-rel 4015  df-cnv 4016  df-co 4017  df-dm 4018  df-rn 4019  df-res 4020  df-ima 4021  df-fun 4022  df-fv 4028  df-ov 4926  df-mpt 5061  df-iota 5234  df-riota 5782  df-grp 10071  df-0g 10072
Copyright terms: Public domain