HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem grpinveu 10253
Description: The left inverse element of a group is unique. Lemma 2.2.1(b) of [Herstein] p. 55.
Hypotheses
Ref Expression
grpinveu.b |- B = (Base` G)
grpinveu.p |- P = (+g ` G)
grpinveu.o |- O = (0g` G)
Assertion
Ref Expression
grpinveu |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,P   y,O   y,X

Proof of Theorem grpinveu
StepHypRef Expression
1 grpinveu.b . . . . 5 |- B = (Base` G)
2 grpinveu.p . . . . 5 |- P = (+g ` G)
3 grpinveu.o . . . . 5 |- O = (0g` G)
41, 2, 3grpidinv2 10248 . . . 4 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)))
5 simpl 443 . . . . . 6 |- (((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> (yPX) = O)
65reximi 2244 . . . . 5 |- (E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> E.y e. B (yPX) = O)
76adantl 453 . . . 4 |- ((((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)) -> E.y e. B (yPX) = O)
84, 7syl 14 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B (yPX) = O)
9 eqtr3 1957 . . . . . . . . . . . 12 |- (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> (yPX) = (zPX))
101, 2grprcan 10252 . . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> ((yPX) = (zPX) <-> y = z))
119, 10syl5ib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
12113exp2 1150 . . . . . . . . . 10 |- (G e. Grp -> (y e. B -> (z e. B -> (X e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1312com24 80 . . . . . . . . 9 |- (G e. Grp -> (X e. B -> (z e. B -> (y e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1413imp41 578 . . . . . . . 8 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ z e. B) /\ y e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1514an32s 754 . . . . . . 7 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1615exp3a 428 . . . . . 6 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> ((yPX) = O -> ((zPX) = O -> y = z)))
1716ralrimdva 2227 . . . . 5 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
1817ancld 539 . . . 4 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
1918reximdva 2249 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (E.y e. B (yPX) = O -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
208, 19mpd 13 . 2 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
21 oveq1 4927 . . . 4 |- (y = z -> (yPX) = (zPX))
2221eqeq1d 1946 . . 3 |- (y = z -> ((yPX) = O <-> (zPX) = O))
2322reu8 2506 . 2 |- (E!y e. B (yPX) = O <-> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
2420, 23sylibr 201 1 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 361   /\ w3a 921   = wceq 1434   e. wcel 1436  A.wral 2147  E.wrex 2148  E!wreu 2149  ` cfv 4007  (class class class)co 4922  Basecbs 9996  +g cplusg 10204  Grpcgrp 10205  0gc0g 10206
This theorem is referenced by:  grpinvcl 10261  grpinv 10262  isgrpinv 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pr 3527  ax-un 3799
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3an 923  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-nul 2907  df-if 3009  df-sn 3084  df-pr 3085  df-op 3087  df-uni 3218  df-br 3363  df-opab 3417  df-id 3615  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fv 4023  df-ov 4924  df-mpt 5059  df-iota 5263  df-riota 5811  df-grp 10211  df-0g 10212
Copyright terms: Public domain