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Theorem grpinveu 10145
Description: The left inverse element of a group is unique. Lemma 2.2.1(b) of [Herstein] p. 55.
Hypotheses
Ref Expression
grpinveu.b |- B = (Base` G)
grpinveu.p |- P = ( +g ` G)
grpinveu.o |- O = (0g` G)
Assertion
Ref Expression
grpinveu |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,P   y,O   y,X

Proof of Theorem grpinveu
StepHypRef Expression
1 grpinveu.b . . . . 5 |- B = (Base` G)
2 grpinveu.p . . . . 5 |- P = ( +g ` G)
3 grpinveu.o . . . . 5 |- O = (0g` G)
41, 2, 3grpidinv2 10140 . . . 4 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)))
5 simpl 465 . . . . . 6 |- (((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> (yPX) = O)
65reximi 2267 . . . . 5 |- (E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O) -> E.y e. B (yPX) = O)
76adantl 475 . . . 4 |- ((((OPX) = X /\ (XPO) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = O /\ (XPy) = O)) -> E.y e. B (yPX) = O)
84, 7syl 14 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B (yPX) = O)
9 eqtr3 1980 . . . . . . . . . . . 12 |- (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> (yPX) = (zPX))
101, 2grprcan 10144 . . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> ((yPX) = (zPX) <-> y = z))
119, 10syl5ib 228 . . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
12113exp2 1175 . . . . . . . . . 10 |- (G e. Grp -> (y e. B -> (z e. B -> (X e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1312com24 83 . . . . . . . . 9 |- (G e. Grp -> (X e. B -> (z e. B -> (y e. B -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z)))))
1413imp41 601 . . . . . . . 8 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ z e. B) /\ y e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1514an32s 778 . . . . . . 7 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> (((yPX) = O /\ (zPX) = O) -> y = z))
1615exp3a 450 . . . . . 6 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> ((yPX) = O -> ((zPX) = O -> y = z)))
1716ralrimdva 2250 . . . . 5 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
1817ancld 560 . . . 4 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = O -> ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
1918reximdva 2272 . . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (E.y e. B (yPX) = O -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z))))
208, 19mpd 13 . 2 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
21 oveq1 4940 . . . 4 |- (y = z -> (yPX) = (zPX))
2221eqeq1d 1969 . . 3 |- (y = z -> ((yPX) = O <-> (zPX) = O))
2322reu8 2529 . 2 |- (E!y e. B (yPX) = O <-> E.y e. B ((yPX) = O /\ A.z e. B ((zPX) = O -> y = z)))
2420, 23sylibr 221 1 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = O)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 382   /\ w3a 946   = wceq 1457   e. wcel 1459  A.wral 2170  E.wrex 2171  E!wreu 2172  ` cfv 4020  (class class class)co 4935  Basecbs 9888   +g cplusg 10096  Grpcgrp 10097  0gc0g 10098
This theorem is referenced by:  grpinvcl 10153  grpinv 10154  isgrpinv 10159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-ext 1943  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pr 3544  ax-un 3814
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3an 948  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-nul 2928  df-if 3029  df-sn 3102  df-pr 3103  df-op 3106  df-uni 3235  df-br 3380  df-opab 3434  df-id 3630  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fv 4036  df-ov 4937  df-mpt 5072  df-iota 5273  df-riota 5821  df-grp 10103  df-0g 10104
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