Theorem grpinveu 9488

Description: The left inverse element of a group is unique. Lemma 2.2.1(b) of [Herstein] p. 55.

Hypotheses

Ref	Expression
grpinveu.b	|- B = (Base` G)
grpinveu.p	|- P = (+g` G)
grpinveu.u	|- U = (0g` G)

Assertion

Ref	Expression
grpinveu	|- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = U)

Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,P   y,U   y,X

Proof of Theorem grpinveu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinveu.b	. . . . 5 |- B = (Base` G)
2		grpinveu.p	. . . . 5 |- P = (+g` G)
3		grpinveu.u	. . . . 5 |- U = (0g` G)
4	1, 2, 3	grpidinv2 9484	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (((UPX) = X /\ (XPU) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = U /\ (XPy) = U)))
5		simpl 437	. . . . . 6 |- (((yPX) = U /\ (XPy) = U) -> (yPX) = U)
6	5	reximi 2448	. . . . 5 |- (E.y e. B ((yPX) = U /\ (XPy) = U) -> E.y e. B (yPX) = U)
7	6	adantl 448	. . . 4 |- ((((UPX) = X /\ (XPU) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = U /\ (XPy) = U)) -> E.y e. B (yPX) = U)
8	4, 7	syl 13	. . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B (yPX) = U)
9		eqtr3 2160	. . . . . . . . . . . 12 |- (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> (yPX) = (zPX))
10	1, 2	grprcan 9487	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> ((yPX) = (zPX) <-> y = z))
11	9, 10	syl5ib 253	. . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z))
12	11	3exp2 1335	. . . . . . . . . 10 |- (G e. Grp -> (y e. B -> (z e. B -> (X e. B -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z)))))
13	12	com24 79	. . . . . . . . 9 |- (G e. Grp -> (X e. B -> (z e. B -> (y e. B -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z)))))
14	13	imp41 569	. . . . . . . 8 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ z e. B) /\ y e. B) -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z))
15	14	an32s 855	. . . . . . 7 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z))
16	15	exp3a 400	. . . . . 6 |- ((((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> ((yPX) = U -> ((zPX) = U -> y = z)))
17	16	r19.21adva 2432	. . . . 5 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = U -> A.z e. B ((zPX) = U -> y = z)))
18	17	ancld 513	. . . 4 |- (((G e. Grp /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = U -> ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z))))
19	18	reximdva 2453	. . 3 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> (E.y e. B (yPX) = U -> E.y e. B ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z))))
20	8, 19	mpd 11	. 2 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E.y e. B ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z)))
21		opreq1 4986	. . . 4 |- (y = z -> (yPX) = (zPX))
22	21	eqeq1d 2149	. . 3 |- (y = z -> ((yPX) = U <-> (zPX) = U))
23	22	reu8 2694	. 2 |- (E!y e. B (yPX) = U <-> E.y e. B ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z)))
24	20, 23	sylibr 243	1 |- ((G e. Grp /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = U)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 337   /\ w3a 1102   = wceq 1586   e. wcel 1588  A.wral 2355  E.wrex 2356  E!wreu 2357  ` cfv 4131  (class class class)co 4981  Basecbs 9437  +_gcplusg 9438  Grpcgrp 9439  0_gc0g 9440

This theorem is referenced by:  grpinvcl 9492  grpinv 9493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-ral 2359  df-rex 2360  df-reu 2361  df-rab 2362  df-v 2540  df-sbc 2700  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-nul 3083  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-op 3246  df-uni 3367  df-br 3508  df-opab 3566  df-id 3747  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-fun 4141  df-fv 4147  df-opr 4983  df-mpt 5099  df-iota 5219  df-grp 9453  df-0g 9454

Copyright terms: Public domain