Theorem grplid 8061

Description: The identity element of a group is a left identity.

Hypotheses

Ref	Expression
grpidval.1	|- X = ran G
grpidval.2	|- U = (Id` G)

Assertion

Ref	Expression
grplid	|- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (UGA) = A)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidval.1	. . 3 |- X = ran G
2		grpidval.2	. . 3 |- U = (Id` G)
3	1, 2	grpidinv2 8060	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (((UGA) = A /\ (AGU) = A) /\ E.y e. X ((yGA) = U /\ (AGy) = U)))
4		simpll 412	. 2 |- ((((UGA) = A /\ (AGU) = A) /\ E.y e. X ((yGA) = U /\ (AGy) = U)) -> (UGA) = A)
5	3, 4	syl 10	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (UGA) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Grpcgr 8033  Idcgi 8034

This theorem is referenced by:  grpid 8065  grpinvid1 8072  grpinvid2 8073  grpinvid 8074  grplcan 8075  grpasscan1 8077  grpinvop 8080  grppnpcan2 8092  ablnncan 8112  subgid 8120  issubgi 8122  ring0lid 8161  vc0lid 8187  vcm 8190  nv0lid 8257  ghomgrpilem2 10386  ghomid 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-grp 8037  df-gid 8038

Copyright terms: Public domain