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Theorem grpoideu 21790
Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoideu  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E! u  e.  X  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
Distinct variable groups:    x, u, G    u, X, x

Proof of Theorem grpoideu
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
21grpoidinv 21789 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )
3 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  ( u G z )  =  z )
43ralimi 2774 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
5 oveq2 6082 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
u G z )  =  ( u G x ) )
6 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
75, 6eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( u G z )  =  z  <->  ( u G x )  =  x ) )
87cbvralv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  <->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
94, 8sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
109adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
119ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
12 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )
1312ralimi 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )
14 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  (
y G z )  =  ( y G w ) )
1514eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
( y G z )  =  u  <->  ( y G w )  =  u ) )
16 oveq1 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  (
z G y )  =  ( w G y ) )
1716eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
( z G y )  =  u  <->  ( w G y )  =  u ) )
1815, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u )  <->  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) ) )
1918rexbidv 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  ( E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u )  <->  E. y  e.  X  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) ) )
2019rspcva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  X  /\  A. z  e.  X  E. y  e.  X  (
( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )  ->  E. y  e.  X  ( (
y G w )  =  u  /\  (
w G y )  =  u ) )
2120adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  A. z  e.  X  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) )
2213, 21sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( (
y G w )  =  u  /\  (
w G y )  =  u ) )
231grpoidinvlem4 21788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) )  -> 
( w G u )  =  ( u G w ) )
2422, 23syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  (
w G u )  =  ( u G w ) )
2524an32s 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\ 
A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  (
( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
w G u )  =  ( u G w ) )
2625adantllr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w G u )  =  ( u G w ) )
2726adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( w G u )  =  ( u G w ) )
28 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
w G x )  =  ( w G u ) )
29 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  x  =  u )
3028, 29eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( w G x )  =  x  <->  ( w G u )  =  u ) )
3130rspcva 3043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x )  -> 
( w G u )  =  u )
3231adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x )  ->  ( w G u )  =  u )
3332ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( w G u )  =  u )
3433adantllr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( w G u )  =  u )
35 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
u G x )  =  ( u G w ) )
36 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  x  =  w )
3735, 36eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( u G w )  =  w ) )
3837rspcva 3043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )  -> 
( u G w )  =  w )
3938ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( u G w )  =  w )
4027, 34, 393eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  u  =  w )
4140ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x )  ->  u  =  w )
)
4211, 41mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  (
w G x )  =  x  ->  u  =  w ) )
4342ralrimiva 2782 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  (
w G x )  =  x  ->  u  =  w ) )
4410, 43jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) )
4544ex 424 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  (
( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) ) )
4645reximdva 2811 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( E. u  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  E. u  e.  X  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) ) )
472, 46mpd 15 . 2  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  ( A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) )
48 oveq1 6081 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  (
u G x )  =  ( w G x ) )
4948eqeq1d 2444 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( w G x )  =  x ) )
5049ralbidv 2718 . . 3  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  <->  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )
5150reu8 3123 . 2  |-  ( E! u  e.  X  A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  <->  E. u  e.  X  ( A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) )
5247, 51sylibr 204 1  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E! u  e.  X  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   E.wrex 2699   E!wreu 2700   ran crn 4872  (class class class)co 6074   GrpOpcgr 21767
This theorem is referenced by:  grpoidval  21797  grpoidcl  21798  grpoidinv2  21799  cnid  21932  mulid  21937  hilid  22656
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-fo 5453  df-fv 5455  df-ov 6077  df-grpo 21772
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