Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpopnpcan2 Structured version   Unicode version

Theorem grpopnpcan2 21833
 Description: Cancellation law for mixed addition and group division. (pnpcan2 9333 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpdivf.1
grpdivf.3
Assertion
Ref Expression
grpopnpcan2

Proof of Theorem grpopnpcan2
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3
2 grpdivf.1 . . . . 5
32grpocl 21780 . . . 4
433adant3r2 1163 . . 3
52grpocl 21780 . . . 4
653adant3r1 1162 . . 3
7 eqid 2435 . . . 4
8 grpdivf.3 . . . 4
92, 7, 8grpodivval 21823 . . 3
101, 4, 6, 9syl3anc 1184 . 2
112, 7grpoinvop 21821 . . . 4
12113adant3r1 1162 . . 3
1312oveq2d 6089 . 2
14 eqid 2435 . . . . . . . . 9 GId GId
152, 14, 7grporinv 21809 . . . . . . . 8 GId
16153adant2 976 . . . . . . 7 GId
1716oveq1d 6088 . . . . . 6 GId
18 simp1 957 . . . . . . 7
19 simp3 959 . . . . . . 7
202, 7grpoinvcl 21806 . . . . . . . 8
21203adant2 976 . . . . . . 7
222, 7grpoinvcl 21806 . . . . . . . 8
23223adant3 977 . . . . . . 7
242grpoass 21783 . . . . . . 7
2518, 19, 21, 23, 24syl13anc 1186 . . . . . 6
262, 14grpolid 21799 . . . . . . . 8 GId
2722, 26syldan 457 . . . . . . 7 GId
28273adant3 977 . . . . . 6 GId
2917, 25, 283eqtr3d 2475 . . . . 5
30293adant3r1 1162 . . . 4
3130oveq2d 6089 . . 3
32 simpr1 963 . . . 4
33 simpr3 965 . . . 4
34203ad2antr3 1124 . . . . 5
35223ad2antr2 1123 . . . . 5
362grpocl 21780 . . . . 5
371, 34, 35, 36syl3anc 1184 . . . 4
382grpoass 21783 . . . 4
391, 32, 33, 37, 38syl13anc 1186 . . 3
402, 7, 8grpodivval 21823 . . . 4
41403adant3r3 1164 . . 3
4231, 39, 413eqtr4d 2477 . 2
4310, 13, 423eqtrd 2471 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  cgr 21766  GIdcgi 21767  cgn 21768   cgs 21769 This theorem is referenced by:  grponnncan2  21834 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774
 Copyright terms: Public domain W3C validator