Theorem grprnOLD 8040

Description: The range of a group operation. Useful for satisfying X = ran G hypothesis for specific groups.

Hypotheses

Ref	Expression
grprnOLD.1	|- G e. Grp
grprnOLD.2	|- G:(X X. X)-->X

Assertion

Ref	Expression
grprnOLD	|- X = ran G

Proof of Theorem grprnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprnOLD.1	. 2 |- G e. Grp
2		grprnOLD.2	. . 3 |- G:(X X. X)-->X
3		fdm 3628	. . 3 |- (G:(X X. X)-->X -> dom G = (X X. X))
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- dom G = (X X. X)
5	1, 4	grprn 8039	1 |- X = ran G

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957   X. cxp 3165  dom cdm 3167  ran crn 3168  -->wf 3175  Grpcgr 8016

This theorem is referenced by:  isabliOLD 8090  cnid 8112  addinv 8113  mulid 8117  cnring 8147  cnnvbaOLD 8295  cnph 8462  hilidOLD 9013  hhnvOLD 9018  hhbaOLD 9021  hhphOLD 9033  symgidi 10398  cayleylem2 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-opr 3962  df-grp 8020

Copyright terms: Public domain