Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumsn2 Structured version   Unicode version

Theorem gsumsn2 24209
Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsn2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsn2.g  |-  G  e. 
Mnd
gsumsn2.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
gsumsn2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumsn2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumsn2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsn2
StepHypRef Expression
1 elsni 3830 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
2 gsumsn2.s . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
31, 2sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  A  =  C )
43mpteq2dva 4287 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  { M }  |->  A )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  C ) )
54oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) ) )
6 gsumsn2.g . . . . 5  |-  G  e. 
Mnd
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 snfi 7179 . . . . 5  |-  { M }  e.  Fin
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { M }  e.  Fin )
10 gsumsn2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
11 gsumsn2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
12 eqid 2435 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
1311, 12gsumconst 15522 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { M }  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
147, 9, 10, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
155, 14eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
16 gsumsn2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
17 hashsng 11637 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  ( # `
 { M }
)  =  1 )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { M } )  =  1 )
1918oveq1d 6088 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C )  =  ( 1 (.g `  G
) C ) )
2011, 12mulg1 14887 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) C )  =  C )
2110, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1 (.g `  G
) C )  =  C )
2215, 19, 213eqtrd 2471 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   1c1 8981   #chash 11608   Basecbs 13459    gsumg cgsu 13714   Mndcmnd 14674  .gcmg 14679
This theorem is referenced by:  esumsn  24446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mnd 14680  df-mulg 14805  df-cntz 15106
  Copyright terms: Public domain W3C validator