Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumsn2 Unicode version

Theorem gsumsn2 24050
Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsn2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsn2.g  |-  G  e. 
Mnd
gsumsn2.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
gsumsn2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumsn2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumsn2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsn2
StepHypRef Expression
1 elsni 3783 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
2 gsumsn2.s . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
31, 2sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  A  =  C )
43mpteq2dva 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  { M }  |->  A )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  C ) )
54oveq2d 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) ) )
6 gsumsn2.g . . . . 5  |-  G  e. 
Mnd
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 snfi 7125 . . . . 5  |-  { M }  e.  Fin
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { M }  e.  Fin )
10 gsumsn2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
11 gsumsn2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
12 eqid 2389 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
1311, 12gsumconst 15461 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { M }  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
147, 9, 10, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
155, 14eqtrd 2421 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
16 gsumsn2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
17 hashsng 11576 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  ( # `
 { M }
)  =  1 )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { M } )  =  1 )
1918oveq1d 6037 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C )  =  ( 1 (.g `  G
) C ) )
2011, 12mulg1 14826 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) C )  =  C )
2110, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1 (.g `  G
) C )  =  C )
2215, 19, 213eqtrd 2425 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3759    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   1c1 8926   #chash 11547   Basecbs 13398    gsumg cgsu 13653   Mndcmnd 14613  .gcmg 14618
This theorem is referenced by:  esumsn  24254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mnd 14619  df-mulg 14744  df-cntz 15045
  Copyright terms: Public domain W3C validator