Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvallem1 Structured version   Unicode version

Theorem gsumvallem1 14771
 Description: Lemma for properties of the set of identities of . Either has no identities, and , or it has one and this identity is unique and identified by the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvallem1.b
gsumvallem1.z
gsumvallem1.p
gsumvallem1.o
Assertion
Ref Expression
gsumvallem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem gsumvallem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvallem1.o . 2
2 simpr 448 . . . . . . . 8
3 gsumvallem1.b . . . . . . . . 9
4 gsumvallem1.z . . . . . . . . 9
5 gsumvallem1.p . . . . . . . . 9
6 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
76eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . 13
8 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
98eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . 13
107, 9anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
1110ralbidv 2725 . . . . . . . . . . 11
1211rspcev 3052 . . . . . . . . . 10
1312adantl 453 . . . . . . . . 9
143, 4, 5, 13ismgmid 14710 . . . . . . . 8
152, 14mpbid 202 . . . . . . 7
1615eqcomd 2441 . . . . . 6
17 elsn 3829 . . . . . 6
1816, 17sylibr 204 . . . . 5
1918expr 599 . . . 4
2019ralrimiva 2789 . . 3
21 rabss 3420 . . 3
2220, 21sylibr 204 . 2
231, 22syl5eqss 3392 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   wss 3320  csn 3814  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723 This theorem is referenced by:  gsumvallem2  14772  gsumress  14777  gsumval2  14783 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727
 Copyright terms: Public domain W3C validator