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Theorem gsumvallem1 14726
Description: Lemma for properties of the set of identities of  G. Either  G has no identities, and  O  =  (/), or it has one and this identity is unique and identified by the 
0g function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvallem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumvallem1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumvallem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumvallem1.o  |-  O  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
gsumvallem1  |-  ( G  e.  V  ->  O  C_ 
{  .0.  } )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x,  .+ , y    x, V    x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    O( x, y)    V( y)

Proof of Theorem gsumvallem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvallem1.o . 2  |-  O  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }
2 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  -> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )
3 gsumvallem1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 gsumvallem1.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 gsumvallem1.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  y )  =  ( x  .+  y ) )
76eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  y
)  =  y  <->  ( x  .+  y )  =  y ) )
8 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  x ) )
98eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .+  z
)  =  y  <->  ( y  .+  x )  =  y ) )
107, 9anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  z )  =  y )  <->  ( ( x 
.+  y )  =  y  /\  ( y 
.+  x )  =  y ) ) )
1110ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  B  ( ( z  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  z )  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )
1211rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) )  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  ( (
z  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  z )  =  y ) )
1312adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  ( ( z  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  z )  =  y ) )
143, 4, 5, 13ismgmid 14665 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) )  <-> 
.0.  =  x ) )
152, 14mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  .0.  =  x )
1615eqcomd 2409 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  x  =  .0.  )
17 elsn 3789 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
1816, 17sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } )
1918expr 599 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x 
.+  y )  =  y  /\  ( y 
.+  x )  =  y )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2019ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
21 rabss 3380 . . 3  |-  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  {  .0.  }  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2220, 21sylibr 204 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  {  .0.  } )
231, 22syl5eqss 3352 1  |-  ( G  e.  V  ->  O  C_ 
{  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678
This theorem is referenced by:  gsumvallem2  14727  gsumress  14732  gsumval2  14738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508  df-0g 13682
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