Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul Unicode version

Theorem gsumvsmul 26132
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2 15354, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumvsmul.s  |-  S  =  (Scalar `  R )
gsumvsmul.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
gsumvsmul.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumvsmul.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsumvsmul.t  |-  .x.  =  ( .s `  R )
gsumvsmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
gsumvsmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumvsmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
gsumvsmul.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
gsumvsmul.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    S, k    k, K    k, X    .0. , k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumvsmul
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumvsmul.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumvsmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
4 lmodcmn 15636 . . 3  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 cmnmnd 15067 . . 3  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsumvsmul.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumvsmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 gsumvsmul.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  R )
11 gsumvsmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  R )
12 gsumvsmul.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 15649 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
143, 9, 13syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
15 ghmmhm 14656 . . 3  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1614, 15syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
17 gsumvsmul.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
18 gsumvsmul.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
19 oveq2 5800 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
20 oveq2 5800 . 2  |-  ( y  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) )  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 15175 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    \ cdif 3124   {csn 3614    e. cmpt 4051   `'ccnv 4660   "cima 4664   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Fincfn 6831   Basecbs 13111   +g cplusg 13171  Scalarcsca 13174   .scvsca 13175   0gc0g 13363    gsumg cgsu 13364   Mndcmnd 14324   MndHom cmhm 14376    GrpHom cghm 14643  CMndccmn 15052   LModclmod 15590
This theorem is referenced by:  frlmup1  26618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-seq 11014  df-hash 11305  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-plusg 13184  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-mnd 14330  df-mhm 14378  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-ghm 14644  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-abl 15055  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-ur 15305  df-lmod 15592
  Copyright terms: Public domain W3C validator