Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul Unicode version

Theorem gsumvsmul 26096
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2 15318, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumvsmul.s  |-  S  =  (Scalar `  R )
gsumvsmul.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
gsumvsmul.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumvsmul.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsumvsmul.t  |-  .x.  =  ( .s `  R )
gsumvsmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
gsumvsmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumvsmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
gsumvsmul.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
gsumvsmul.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    S, k    k, K    k, X    .0. , k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumvsmul
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumvsmul.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumvsmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
4 lmodcmn 15600 . . 3  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 cmnmnd 15031 . . 3  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsumvsmul.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumvsmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 gsumvsmul.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  R )
11 gsumvsmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  R )
12 gsumvsmul.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 15613 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
143, 9, 13syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
15 ghmmhm 14620 . . 3  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1614, 15syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
17 gsumvsmul.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
18 gsumvsmul.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
19 oveq2 5765 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
20 oveq2 5765 . 2  |-  ( y  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) )  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 15139 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2740    \ cdif 3091   {csn 3581    e. cmpt 4017   `'ccnv 4625   "cima 4629   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Fincfn 6796   Basecbs 13075   +g cplusg 13135  Scalarcsca 13138   .scvsca 13139   0gc0g 13327    gsumg cgsu 13328   Mndcmnd 14288   MndHom cmhm 14340    GrpHom cghm 14607  CMndccmn 15016   LModclmod 15554
This theorem is referenced by:  frlmup1  26582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-oi 7158  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-seq 10978  df-hash 11269  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-plusg 13148  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-mnd 14294  df-mhm 14342  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-ghm 14608  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-lmod 15556
  Copyright terms: Public domain W3C validator