Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul Unicode version

Theorem gsumvsmul 26117
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2 15339, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumvsmul.s  |-  S  =  (Scalar `  R )
gsumvsmul.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
gsumvsmul.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumvsmul.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsumvsmul.t  |-  .x.  =  ( .s `  R )
gsumvsmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
gsumvsmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumvsmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
gsumvsmul.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
gsumvsmul.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    S, k    k, K    k, X    .0. , k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumvsmul
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumvsmul.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumvsmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
4 lmodcmn 15621 . . 3  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 cmnmnd 15052 . . 3  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsumvsmul.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumvsmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 gsumvsmul.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  R )
11 gsumvsmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  R )
12 gsumvsmul.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 15634 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
143, 9, 13syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
15 ghmmhm 14641 . . 3  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1614, 15syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
17 gsumvsmul.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
18 gsumvsmul.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
19 oveq2 5786 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
20 oveq2 5786 . 2  |-  ( y  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) )  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 15160 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2757    \ cdif 3110   {csn 3600    e. cmpt 4037   `'ccnv 4646   "cima 4650   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Fincfn 6817   Basecbs 13096   +g cplusg 13156  Scalarcsca 13159   .scvsca 13160   0gc0g 13348    gsumg cgsu 13349   Mndcmnd 14309   MndHom cmhm 14361    GrpHom cghm 14628  CMndccmn 15037   LModclmod 15575
This theorem is referenced by:  frlmup1  26603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-oi 7179  df-card 7526  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-seq 10999  df-hash 11290  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-plusg 13169  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-mnd 14315  df-mhm 14363  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-ghm 14629  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-ur 15290  df-lmod 15577
  Copyright terms: Public domain W3C validator