Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul Unicode version

Theorem gsumvsmul 26175
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2 15387, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumvsmul.s  |-  S  =  (Scalar `  R )
gsumvsmul.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
gsumvsmul.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumvsmul.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsumvsmul.t  |-  .x.  =  ( .s `  R )
gsumvsmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
gsumvsmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumvsmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
gsumvsmul.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
gsumvsmul.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    S, k    k, K    k, X    .0. , k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumvsmul
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumvsmul.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumvsmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
4 lmodcmn 15669 . . 3  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 cmnmnd 15100 . . 3  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsumvsmul.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumvsmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 gsumvsmul.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  R )
11 gsumvsmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  R )
12 gsumvsmul.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 15682 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
143, 9, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
15 ghmmhm 14689 . . 3  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1614, 15syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
17 gsumvsmul.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
18 gsumvsmul.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
19 oveq2 5828 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
20 oveq2 5828 . 2  |-  ( y  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) )  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 15208 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    \ cdif 3150   {csn 3641    e. cmpt 4078   `'ccnv 4687   "cima 4691   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Fincfn 6859   Basecbs 13144   +g cplusg 13204  Scalarcsca 13207   .scvsca 13208   0gc0g 13396    gsumg cgsu 13397   Mndcmnd 14357   MndHom cmhm 14409    GrpHom cghm 14676  CMndccmn 15085   LModclmod 15623
This theorem is referenced by:  frlmup1  26661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-hash 11334  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13217  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-mnd 14363  df-mhm 14411  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-ghm 14677  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-lmod 15625
  Copyright terms: Public domain W3C validator