Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul Structured version   Unicode version

Theorem gsumvsmul 26857
 Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2 15752, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul.b
gsumvsmul.s Scalar
gsumvsmul.k
gsumvsmul.z
gsumvsmul.p
gsumvsmul.t
gsumvsmul.r
gsumvsmul.a
gsumvsmul.x
gsumvsmul.y
gsumvsmul.n
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem gsumvsmul
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul.b . 2
2 gsumvsmul.z . 2
3 gsumvsmul.r . . 3
4 lmodcmn 16030 . . 3 CMnd
53, 4syl 16 . 2 CMnd
6 cmnmnd 15465 . . 3 CMnd
75, 6syl 16 . 2
8 gsumvsmul.a . 2
9 gsumvsmul.x . . . 4
10 gsumvsmul.s . . . . 5 Scalar
11 gsumvsmul.t . . . . 5
12 gsumvsmul.k . . . . 5
131, 10, 11, 12lmodvsghm 16043 . . . 4
143, 9, 13syl2anc 644 . . 3
15 ghmmhm 15054 . . 3 MndHom
1614, 15syl 16 . 2 MndHom
17 gsumvsmul.y . 2
18 gsumvsmul.n . 2
19 oveq2 6125 . 2
20 oveq2 6125 . 2 g g
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 15573 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1654   wcel 1728  cvv 2965   cdif 3306  csn 3843   cmpt 4297  ccnv 4912  cima 4916  cfv 5489  (class class class)co 6117  cfn 7145  cbs 13507   cplusg 13567  Scalarcsca 13570  cvsca 13571  c0g 13761   g cgsu 13762  cmnd 14722   MndHom cmhm 14774   cghm 15041  CMndccmn 15450  clmod 15988 This theorem is referenced by:  frlmup1  27339 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-hash 11657  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-plusg 13580  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-mnd 14728  df-mhm 14776  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-ghm 15042  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-abl 15453  df-mgp 15687  df-rng 15701  df-ur 15703  df-lmod 15990
 Copyright terms: Public domain W3C validator