Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsplit Structured version   Unicode version

Theorem gsumzsplit 15521
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsplit.b
gsumzsplit.0
gsumzsplit.p
gsumzsplit.z Cntz
gsumzsplit.g
gsumzsplit.a
gsumzsplit.f
gsumzsplit.c
gsumzsplit.w
gsumzsplit.i
gsumzsplit.u
Assertion
Ref Expression
gsumzsplit g g g

Proof of Theorem gsumzsplit
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzsplit.b . . 3
2 gsumzsplit.0 . . 3
3 gsumzsplit.p . . 3
4 gsumzsplit.z . . 3 Cntz
5 gsumzsplit.g . . 3
6 gsumzsplit.a . . 3
7 gsumzsplit.w . . . 4
8 gsumzsplit.f . . . . . . . 8
9 ssid 3359 . . . . . . . . 9
109a1i 11 . . . . . . . 8
118, 10suppssr 5856 . . . . . . 7
1211ifeq1d 3745 . . . . . 6
13 ifid 3763 . . . . . 6
1412, 13syl6eq 2483 . . . . 5
1514suppss2 6292 . . . 4
16 ssfi 7321 . . . 4
177, 15, 16syl2anc 643 . . 3
1811ifeq1d 3745 . . . . . 6
19 ifid 3763 . . . . . 6
2018, 19syl6eq 2483 . . . . 5
2120suppss2 6292 . . . 4
22 ssfi 7321 . . . 4
237, 21, 22syl2anc 643 . . 3
241submacs 14757 . . . . 5 SubMnd ACS
25 acsmre 13869 . . . . 5 SubMnd ACS SubMnd Moore
265, 24, 253syl 19 . . . 4 SubMnd Moore
27 frn 5589 . . . . 5
288, 27syl 16 . . . 4
29 eqid 2435 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3029mrccl 13828 . . . 4 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
3126, 28, 30syl2anc 643 . . 3 mrClsSubMnd SubMnd
32 gsumzsplit.c . . . . 5
33 eqid 2435 . . . . . 6 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
344, 29, 33cntzspan 15452 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd
355, 32, 34syl2anc 643 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd
3633, 4submcmn2 15450 . . . . 5 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3731, 36syl 16 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3835, 37mpbid 202 . . 3 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3926, 29, 28mrcssidd 13842 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
4039adantr 452 . . . . . 6 mrClsSubMnd
41 ffn 5583 . . . . . . . 8
428, 41syl 16 . . . . . . 7
43 fnfvelrn 5859 . . . . . . 7
4442, 43sylan 458 . . . . . 6
4540, 44sseldd 3341 . . . . 5 mrClsSubMnd
462subm0cl 14744 . . . . . . 7 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd
4731, 46syl 16 . . . . . 6 mrClsSubMnd
4847adantr 452 . . . . 5 mrClsSubMnd
49 ifcl 3767 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5045, 48, 49syl2anc 643 . . . 4 mrClsSubMnd
51 eqid 2435 . . . 4
5250, 51fmptd 5885 . . 3 mrClsSubMnd
53 ifcl 3767 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5445, 48, 53syl2anc 643 . . . 4 mrClsSubMnd
55 eqid 2435 . . . 4
5654, 55fmptd 5885 . . 3 mrClsSubMnd
571, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 23, 31, 38, 52, 56gsumzadd 15519 . 2 g g g
588feqmptd 5771 . . . . 5
59 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10
6059adantl 453 . . . . . . . . 9
61 gsumzsplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15
62 noel 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15
6561, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
67 elin 3522 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67sylnib 296 . . . . . . . . . . . 12
69 imnan 412 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
7170imp 419 . . . . . . . . . 10
72 iffalse 3738 . . . . . . . . . 10
7371, 72syl 16 . . . . . . . . 9
7460, 73oveq12d 6091 . . . . . . . 8
758ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10
761, 3, 2mndrid 14709 . . . . . . . . . . 11
775, 76sylan 458 . . . . . . . . . 10
7875, 77syldan 457 . . . . . . . . 9
7978adantr 452 . . . . . . . 8
8074, 79eqtrd 2467 . . . . . . 7
8170con2d 109 . . . . . . . . . . 11
8281imp 419 . . . . . . . . . 10
83 iffalse 3738 . . . . . . . . . 10
8482, 83syl 16 . . . . . . . . 9
85 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10
8685adantl 453 . . . . . . . . 9
8784, 86oveq12d 6091 . . . . . . . 8
881, 3, 2mndlid 14708 . . . . . . . . . . 11
895, 88sylan 458 . . . . . . . . . 10
9075, 89syldan 457 . . . . . . . . 9
9190adantr 452 . . . . . . . 8
9287, 91eqtrd 2467 . . . . . . 7
93 gsumzsplit.u . . . . . . . . . 10
9493eleq2d 2502 . . . . . . . . 9
95 elun 3480 . . . . . . . . 9
9694, 95syl6bb 253 . . . . . . . 8
9796biimpa 471 . . . . . . 7
9880, 92, 97mpjaodan 762 . . . . . 6
9998mpteq2dva 4287 . . . . 5
10058, 99eqtr4d 2470 . . . 4
1011, 2mndidcl 14706 . . . . . . . 8
1025, 101syl 16 . . . . . . 7
103102adantr 452 . . . . . 6
104 ifcl 3767 . . . . . 6
10575, 103, 104syl2anc 643 . . . . 5
106 ifcl 3767 . . . . . 6
10775, 103, 106syl2anc 643 . . . . 5
108 eqidd 2436 . . . . 5
109 eqidd 2436 . . . . 5
1106, 105, 107, 108, 109offval2 6314 . . . 4
111100, 110eqtr4d 2470 . . 3
112111oveq2d 6089 . 2 g g
11358reseq1d 5137 . . . . . 6
114 ssun1 3502 . . . . . . . 8
115114, 93syl5sseqr 3389 . . . . . . 7
11659mpteq2ia 4283 . . . . . . . 8
117 resmpt 5183 . . . . . . . 8
118 resmpt 5183 . . . . . . . 8
119116, 117, 1183eqtr4a 2493 . . . . . . 7
120115, 119syl 16 . . . . . 6
121113, 120eqtr4d 2470 . . . . 5
122121oveq2d 6089 . . . 4 g g
123105, 51fmptd 5885 . . . . 5
124 frn 5589 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
12552, 124syl 16 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1264cntzidss 15128 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
12738, 125, 126syl2anc 643 . . . . 5
128 eldifn 3462 . . . . . . . 8
129128adantl 453 . . . . . . 7
130129, 83syl 16 . . . . . 6
131130suppss2 6292 . . . . 5
1321, 2, 4, 5, 6, 123, 127, 131, 17gsumzres 15509 . . . 4 g g
133122, 132eqtrd 2467 . . 3 g g
13458reseq1d 5137 . . . . . 6
135 ssun2 3503 . . . . . . . 8
136135, 93syl5sseqr 3389 . . . . . . 7
13785mpteq2ia 4283 . . . . . . . 8
138 resmpt 5183 . . . . . . . 8
139 resmpt 5183 . . . . . . . 8
140137, 138, 1393eqtr4a 2493 . . . . . . 7
141136, 140syl 16 . . . . . 6
142134, 141eqtr4d 2470 . . . . 5
143142oveq2d 6089 . . . 4 g g
144107, 55fmptd 5885 . . . . 5
145 frn 5589 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
14656, 145syl 16 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1474cntzidss 15128 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
14838, 146, 147syl2anc 643 . . . . 5
149 eldifn 3462 . . . . . . . 8
150149adantl 453 . . . . . . 7
151150, 72syl 16 . . . . . 6
152151suppss2 6292 . . . . 5
1531, 2, 4, 5, 6, 144, 148, 152, 23gsumzres 15509 . . . 4 g g
154143, 153eqtrd 2467 . . 3 g g
155133, 154oveq12d 6091 . 2 g g g g
15657, 112, 1553eqtr4d 2477 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cif 3731  csn 3806   cmpt 4258  ccnv 4869   crn 4871   cres 4872  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cfn 7101  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  c0g 13715   g cgsu 13716  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800  ACScacs 13802  cmnd 14676  SubMndcsubmnd 14729  Cntzccntz 15106  CMndccmn 15404 This theorem is referenced by:  gsumsplit  15522  dpjidcl  15608 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-cntz 15108  df-cmn 15406
 Copyright terms: Public domain W3C validator