MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Unicode version

Theorem gt0ne0 9172
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0re 8771 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 ltne 8850 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
42, 3sylan 459 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3963   RRcr 8669   0cc0 8670    < clt 8800
This theorem is referenced by:  recgt0  9533  lemul1  9541  lediv1  9554  gt0div  9555  ge0div  9556  ltdivmul  9561  ledivmul  9562  ledivmulOLD  9563  lt2mul2div  9565  lemuldiv  9568  ltdiv2  9574  ltrec1  9576  lerec2  9577  ledivdiv  9578  lediv2  9579  ltdiv23  9580  lediv23  9581  lediv12a  9582  recreclt  9588  nnrecl  9895  elnnz  9966  recnz  10019  rpne0  10301  resqrex  11666  sqrgt0  11674  argregt0  19891  argimgt0  19893  logneg2  19896  logcnlem3  19918  atanlogsublem  20138  leopmul  22639  cdj1i  22938  lediv2aALT  23350  divelunit  23416  mulge0b  23422  nndivlub  24237  stoweidlem13  27062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-ltxr 8805
  Copyright terms: Public domain W3C validator