MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Unicode version

Theorem gt0ne0 9241
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0re 8840 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 ltne 8919 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
42, 3sylan 457 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025   RRcr 8738   0cc0 8739    < clt 8869
This theorem is referenced by:  recgt0  9602  lemul1  9610  lediv1  9623  gt0div  9624  ge0div  9625  ltdivmul  9630  ledivmul  9631  ledivmulOLD  9632  lt2mul2div  9634  lemuldiv  9637  ltdiv2  9643  ltrec1  9645  lerec2  9646  ledivdiv  9647  lediv2  9648  ltdiv23  9649  lediv23  9650  lediv12a  9651  recreclt  9657  nnrecl  9965  elnnz  10036  recnz  10089  rpne0  10371  resqrex  11738  sqrgt0  11746  argregt0  19966  argimgt0  19968  logneg2  19971  logcnlem3  19993  atanlogsublem  20213  leopmul  22716  cdj1i  23015  lediv2aALT  24015  divelunit  24082  mulge0b  24088  nndivlub  24899  stoweidlem13  27773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874
  Copyright terms: Public domain W3C validator