MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Unicode version

Theorem gt0ne0 9207
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0re 8806 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 ltne 8885 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
42, 3sylan 459 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621    =/= wne 2421   class class class wbr 3997   RRcr 8704   0cc0 8705    < clt 8835
This theorem is referenced by:  recgt0  9568  lemul1  9576  lediv1  9589  gt0div  9590  ge0div  9591  ltdivmul  9596  ledivmul  9597  ledivmulOLD  9598  lt2mul2div  9600  lemuldiv  9603  ltdiv2  9609  ltrec1  9611  lerec2  9612  ledivdiv  9613  lediv2  9614  ltdiv23  9615  lediv23  9616  lediv12a  9617  recreclt  9623  nnrecl  9931  elnnz  10002  recnz  10055  rpne0  10337  resqrex  11702  sqrgt0  11710  argregt0  19927  argimgt0  19929  logneg2  19932  logcnlem3  19954  atanlogsublem  20174  leopmul  22675  cdj1i  22974  lediv2aALT  23386  divelunit  23452  mulge0b  23458  nndivlub  24273  stoweidlem13  27131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840
  Copyright terms: Public domain W3C validator