MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Structured version   Unicode version

Theorem gt0ne0 9524
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0re 9122 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 ltne 9201 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
42, 3sylan 459 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1727    =/= wne 2605   class class class wbr 4237   RRcr 9020   0cc0 9021    < clt 9151
This theorem is referenced by:  recgt0  9885  lemul1  9893  lediv1  9906  gt0div  9907  ge0div  9908  ltdivmul  9913  ledivmul  9914  ledivmulOLD  9915  lt2mul2div  9917  lemuldiv  9920  ltdiv2  9926  ltrec1  9928  lerec2  9929  ledivdiv  9930  lediv2  9931  ltdiv23  9932  lediv23  9933  lediv12a  9934  recreclt  9940  nnrecl  10250  elnnz  10323  recnz  10376  rpne0  10658  resqrex  12087  sqrgt0  12095  argregt0  20536  argimgt0  20538  logneg2  20541  logcnlem3  20566  atanlogsublem  20786  leopmul  23668  cdj1i  23967  lediv2aALT  25148  divelunit  25216  mulge0b  25222  nndivlub  26239  sineq0ALT  29147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-ltxr 9156
  Copyright terms: Public domain W3C validator