Theorem gt0ne0t 5600

Description: Positive implies nonzero.

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0t	|- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)

Proof of Theorem gt0ne0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2618	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < A <-> 0 < if(A e. RR, A, 0)))
2		neeq1 1587	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A =/= 0 <-> if(A e. RR, A, 0) =/= 0))
3	1, 2	imbi12d 625	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 < A -> A =/= 0) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) -> if(A e. RR, A, 0) =/= 0)))
4		0re 5420	. . . . 5 |- 0 e. RR
5	4	elimel 2390	. . . 4 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
6	5	gt0ne0 5593	. . 3 |- (0 < if(A e. RR, A, 0) -> if(A e. RR, A, 0) =/= 0)
7	3, 6	dedth 2379	. 2 |- (A e. RR -> (0 < A -> A =/= 0))
8	7	imp 350	1 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  ifcif 2357   class class class wbr 2614  RRcr 5213  0cc0 5214   < clt 5466

This theorem is referenced by:  recextlem2 5664  lemul1t 5796  lediv1t 5814  gt0divt 5815  ge0divt 5816  ltdivmult 5827  ledivmult 5828  lt2mul2divt 5830  lemuldivt 5832  ltdiv2t 5843  ltrec1t 5844  lerec2t 5845  ledivdivt 5846  lediv2t 5847  ltdiv23t 5848  lediv23t 5849  lediv12it 5852  recp1lt1 5857  recrecltt 5858  ledivp1t 5861  nnreclt 6027  elnnz 6100  recnzt 6146  rpdivclt 6237  expord2t 6543  exple1t 6546  expnbndt 6593  climmullem1 7064  climmullem2 7065  climmullem3 7066  climmullem4 7067  georeclim 7183  cvgratlem2 7194  cvgratlem5 7197  efcltlem1 7254  erelem3 7271  efaddlem23 7310  efaddlem25 7312  efcn 7371  reeff1o 7376  lmnn 7887  bcthlem8 7956  bcthlem21 7969  blocnilem 8408  ubthlem8 8480  ubthlem9 8481  ubthlem12 8484  ubthlem13 8485  ubthlem14 8486  eff1i 8683  effoi 8684  reeflogt 8700  relogeftb 8704  projlem26 9150  lnopcon 9901  lnfncon 9928  leopmult 10005  cdj1 10294  lediv2itALT 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470

Copyright terms: Public domain