HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem gtndivt 6150
Description: A larger number does not divide a smaller natural number.
Assertion
Ref Expression
gtndivt |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)
Proof of Theorem gtndivt
StepHypRef Expression
1 0z 6103 . . 3 |- 0 e. ZZ
2 btwnnzt 6149 . . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
31, 2mp3an1 902 . 2 |- ((0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
4 divgt0t 5819 . . 3 |- (((B e. RR /\ 0 < B) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> 0 < (B / A))
5 nnret 5887 . . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR)
653ad2ant2 800 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B e. RR)
7 nngt0t 5904 . . . 4 |- (B e. NN -> 0 < B)
873ad2ant2 800 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < B)
9 3simp1 787 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> A e. RR)
107adantl 388 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> 0 < B)
11 0re 5423 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12 axlttrn 5487 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1311, 12mp3an1 902 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1413, 5sylan 448 . . . . . 6 |- ((B e. NN /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1514ancoms 436 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1610, 15mpand 700 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> (B < A -> 0 < A))
17163impia 829 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < A)
184, 6, 8, 9, 17syl2anc 472 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < (B / A))
19 3simp3 789 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B < A)
20 1re 5418 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
21 ltdivmul2t 5831 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
2220, 21mp3anl3 911 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
236, 9jca 288 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B e. RR /\ A e. RR))
2422, 23, 17sylanc 471 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
25 recnt 5296 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
26 mulid2t 5400 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
2725, 26syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (1 x. A) = A)
2827breq2d 2626 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
29283ad2ant1 799 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
3024, 29bitrd 527 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < A))
3119, 30mpbird 196 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < 1)
32 ax1cn 5252 . . . 4 |- 1 e. CC
3332addid2 5314 . . 3 |- (0 + 1) = 1
3431, 33syl6breqr 2651 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < (0 + 1))
353, 18, 34sylanc 471 1 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   / cdiv 5277  NNcn 5279  ZZcz 5281   < clt 5469
This theorem is referenced by:  primet 6152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093
Copyright terms: Public domain