MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Unicode version

Theorem gzrngunitlem 16755
Description: Lemma for gzrngunit 16756. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1  |-  Z  =  (flds  ZZ [ _i ] )
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 11468 . . 3  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2 ax-1ne0 9051 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3 gzsubrg 16745 . . . . . . 7  |-  ZZ [
_i ]  e.  (SubRing ` fld )
4 gzrng.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ [ _i ] )
54subrgrng 15863 . . . . . . 7  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e.  Ring )
6 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
7 subrgsubg 15866 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ [ _i ]  e.  (SubGrp ` fld ) )
8 cnfld0 16717 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
94, 8subg0 14942 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubGrp ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  Z ) )
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g `  Z )
11 cnfld1 16718 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` fld )
124, 11subrg1 15870 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z ) )
133, 12ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 1r `  Z )
146, 10, 130unit 15777 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 ) )
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 )
162, 15nemtbir 2686 . . . . 5  |-  -.  0  e.  (Unit `  Z )
174subrgbas 15869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ [ _i ]  =  ( Base `  Z ) )
183, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ [
_i ]  =  (
Base `  Z )
1918, 6unitcl 15756 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  ZZ [ _i ] )
20 gzabssqcl 13301 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
22 elnn0 10215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN  \/  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  \/  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
2423ord 367 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
25 gzcn 13292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  CC )
2726abscld 12230 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2827recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
29 sqeq0 11438 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3126abs00ad 12087 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  <->  A  =  0
) )
32 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3332biimpcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( A  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3431, 33sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3530, 34sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3624, 35syld 42 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3716, 36mt3i 120 . . . 4  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN )
3837nnge1d 10034 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
391, 38syl5eqbr 4237 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
4026absge0d 12238 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
41 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
42 0le1 9543 . . . 4  |-  0  <_  1
43 le2sq 11448 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( 1  <_ 
( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4441, 42, 43mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
1  <_  ( abs `  A )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4527, 40, 44syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1  <_  ( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4639, 45mpbird 224 1  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    <_ cle 9113   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ^cexp 11374   abscabs 12031   ZZ [ _i ]cgz 13289   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   0gc0g 13715  SubGrpcsubg 14930   Ringcrg 15652   1rcur 15654  Unitcui 15736  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  gzrngunit  16756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-gz 13290  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-subrg 15858  df-cnfld 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator