Theorem halfpm6th 5989

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	|- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 5957	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
2	1	nncn 5890	. . . . . 6 |- 3 e. CC
3		ax1cn 5252	. . . . . 6 |- 1 e. CC
4		2cn 5937	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5	1	nnne0 5909	. . . . . 6 |- 3 =/= 0
6		2ne0 5947	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
7	2, 2, 3, 4, 5, 6	divmuldiv 5752	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = ((3 x. 1) / (3 x. 2))
8	2, 5	divid 5736	. . . . . . 7 |- (3 / 3) = 1
9	8	opreq1i 3966	. . . . . 6 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 x. (1 / 2))
10		2re 5936	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
11	10, 6	rereccl 5767	. . . . . . . 8 |- (1 / 2) e. RR
12	11	recn 5297	. . . . . . 7 |- (1 / 2) e. CC
13	12	mulid2 5316	. . . . . 6 |- (1 x. (1 / 2)) = (1 / 2)
14	9, 13	eqtr 1493	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 / 2)
15	2	mulid1 5315	. . . . . 6 |- (3 x. 1) = 3
16		3t2e6 5980	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
17	15, 16	opreq12i 3968	. . . . 5 |- ((3 x. 1) / (3 x. 2)) = (3 / 6)
18	7, 14, 17	3eqtr3 1501	. . . 4 |- (1 / 2) = (3 / 6)
19	18	opreq1i 3966	. . 3 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = ((3 / 6) - (1 / 6))
20		6re 5941	. . . . 5 |- 6 e. RR
21	20	recn 5297	. . . 4 |- 6 e. CC
22		6pos 5951	. . . . . 6 |- 0 < 6
23	20, 22	gt0ne0i 5601	. . . . 5 |- 6 =/= 0
24		divsubdirt 5741	. . . . 5 |- (((3 e. CC /\ 1 e. CC /\ 6 e. CC) /\ 6 =/= 0) -> ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6)))
25	23, 24	mpan2 695	. . . 4 |- ((3 e. CC /\ 1 e. CC /\ 6 e. CC) -> ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6)))
26	2, 3, 21, 25	mp3an 915	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6))
27		df-3 5928	. . . . . . 7 |- 3 = (2 + 1)
28	27	opreq1i 3966	. . . . . 6 |- (3 - 1) = ((2 + 1) - 1)
29		pncant 5380	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((2 + 1) - 1) = 2)
30	4, 3, 29	mp2an 696	. . . . . 6 |- ((2 + 1) - 1) = 2
31	28, 30	eqtr 1493	. . . . 5 |- (3 - 1) = 2
32	31	opreq1i 3966	. . . 4 |- ((3 - 1) / 6) = (2 / 6)
33	4	mulid2 5316	. . . . 5 |- (1 x. 2) = 2
34	33, 16	opreq12i 3968	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 6)
35	4, 6	divid 5736	. . . . . 6 |- (2 / 2) = 1
36	35	opreq2i 3967	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 / 3) x. 1)
37	3, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldiv 5752	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 x. 2) / (3 x. 2))
38	2, 5	reccl 5692	. . . . . 6 |- (1 / 3) e. CC
39	38	mulid1 5315	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. 1) = (1 / 3)
40	36, 37, 39	3eqtr3 1501	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (1 / 3)
41	32, 34, 40	3eqtr2 1499	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = (1 / 3)
42	19, 26, 41	3eqtr2 1499	. 2 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3)
43	2, 3, 21, 23	divdir 5720	. . . 4 |- ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
44		df-4 5929	. . . . 5 |- 4 = (3 + 1)
45	44	opreq1i 3966	. . . 4 |- (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
46	18	opreq1i 3966	. . . 4 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
47	43, 45, 46	3eqtr4r 1504	. . 3 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
48		2t2e4 5979	. . . 4 |- (2 x. 2) = 4
49	48, 16	opreq12i 3968	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (4 / 6)
50	35	opreq2i 3967	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 / 3) x. 1)
51	4, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldiv 5752	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 x. 2) / (3 x. 2))
52	4, 2, 5	divcl 5689	. . . . 5 |- (2 / 3) e. CC
53	52	mulid1 5315	. . . 4 |- ((2 / 3) x. 1) = (2 / 3)
54	50, 51, 53	3eqtr3 1501	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 3)
55	47, 49, 54	3eqtr2 1499	. 2 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
56	42, 55	pm3.2i 285	1 |- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  (class class class)co 3958  CCcc 5215  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275   / cdiv 5277  2c2 5918  3c3 5919  4c4 5920  6c6 5922

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 7430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-5 5930  df-6 5931

Copyright terms: Public domain