Theorem halfpos 5860

Description: A positive number is greater than its half.

Hypothesis

Ref	Expression
halfpos.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
halfpos	|- (0 < A <-> (A / (1 + 1)) < A)

Proof of Theorem halfpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5420	. . 3 |- 0 e. RR
2		halfpos.1	. . 3 |- A e. RR
3	1, 2, 2	ltadd1 5573	. 2 |- (0 < A <-> (0 + A) < (A + A))
4	2	recn 5294	. . . . 5 |- A e. CC
5	4	addid2 5311	. . . 4 |- (0 + A) = A
6	4	1p1times 5413	. . . . 5 |- ((1 + 1) x. A) = (A + A)
7	6	eqcomi 1476	. . . 4 |- (A + A) = ((1 + 1) x. A)
8	5, 7	breq12i 2623	. . 3 |- ((0 + A) < (A + A) <-> A < ((1 + 1) x. A))
9		1re 5415	. . . . . 6 |- 1 e. RR
10	9, 9	readdcl 5314	. . . . 5 |- (1 + 1) e. RR
11	10, 2	remulcl 5315	. . . 4 |- ((1 + 1) x. A) e. RR
12		lt01 5661	. . . . 5 |- 0 < 1
13	9, 9, 12, 12	addgt0i 5583	. . . 4 |- 0 < (1 + 1)
14	2, 11, 10, 13	ltdiv1i 5787	. . 3 |- (A < ((1 + 1) x. A) <-> (A / (1 + 1)) < (((1 + 1) x. A) / (1 + 1)))
15	8, 14	bitr 173	. 2 |- ((0 + A) < (A + A) <-> (A / (1 + 1)) < (((1 + 1) x. A) / (1 + 1)))
16	10	recn 5294	. . . 4 |- (1 + 1) e. CC
17	10, 13	gt0ne0i 5599	. . . 4 |- (1 + 1) =/= 0
18	16, 4, 17	divcan3 5722	. . 3 |- (((1 + 1) x. A) / (1 + 1)) = A
19	18	breq2i 2622	. 2 |- ((A / (1 + 1)) < (((1 + 1) x. A) / (1 + 1)) <-> (A / (1 + 1)) < A)
20	3, 15, 19	3bitr 177	1 |- (0 < A <-> (A / (1 + 1)) < A)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   < clt 5466

This theorem is referenced by:  posex 5864  halfpost 5991  sqrlem20 6630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680

Copyright terms: Public domain