Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Structured version   Unicode version

Theorem harmonic 12640
 Description: The harmonic series diverges. This fact follows from the stronger emcl 20843, which establishes that the harmonic series grows as o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1
harmonic.2
Assertion
Ref Expression
harmonic

Proof of Theorem harmonic
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10522 . . . 4
2 0z 10295 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 1ex 9088 . . . . . 6
54fvconst2 5949 . . . . 5
65adantl 454 . . . 4
7 1re 9092 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4
9 harmonic.2 . . . . . . 7
109eleq1i 2501 . . . . . 6
1110biimpi 188 . . . . 5
12 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
13 harmonic.1 . . . . . . . . 9
14 ovex 6108 . . . . . . . . 9
1512, 13, 14fvmpt 5808 . . . . . . . 8
16 nnrecre 10038 . . . . . . . 8
1715, 16eqeltrd 2512 . . . . . . 7
1817adantl 454 . . . . . 6
19 nnrp 10623 . . . . . . . . . 10
2019rpreccld 10660 . . . . . . . . 9
2120rpge0d 10654 . . . . . . . 8
2221, 15breqtrrd 4240 . . . . . . 7
2322adantl 454 . . . . . 6
24 nnre 10009 . . . . . . . . . 10
2524lep1d 9944 . . . . . . . . 9
26 nngt0 10031 . . . . . . . . . 10
27 peano2re 9241 . . . . . . . . . . 11
2824, 27syl 16 . . . . . . . . . 10
29 peano2nn 10014 . . . . . . . . . . 11
3029nngt0d 10045 . . . . . . . . . 10
31 lerec 9894 . . . . . . . . . 10
3224, 26, 28, 30, 31syl22anc 1186 . . . . . . . . 9
3325, 32mpbid 203 . . . . . . . 8
34 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
35 ovex 6108 . . . . . . . . . 10
3634, 13, 35fvmpt 5808 . . . . . . . . 9
3729, 36syl 16 . . . . . . . 8
3833, 37, 153brtr4d 4244 . . . . . . 7
3938adantl 454 . . . . . 6
40 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
4140fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
4240, 41oveq12d 6101 . . . . . . . 8
43 fconstmpt 4923 . . . . . . . . 9
44 2nn 10135 . . . . . . . . . . . . . 14
45 nnexpcl 11396 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45mpan 653 . . . . . . . . . . . . 13
47 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . 14
48 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 13, 48fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . 13
5046, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5150oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
52 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . 13
53 nnne0 10034 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53recidd 9787 . . . . . . . . . . . 12
5546, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11
5651, 55eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10
5756mpteq2ia 4293 . . . . . . . . 9
5843, 57eqtr4i 2461 . . . . . . . 8
59 ovex 6108 . . . . . . . 8
6042, 58, 59fvmpt 5808 . . . . . . 7
6160adantl 454 . . . . . 6
6218, 23, 39, 61climcnds 12633 . . . . 5
6311, 62mpbid 203 . . . 4
641, 3, 6, 8, 63isumrecl 12551 . . 3
65 arch 10220 . . 3
6664, 65syl 16 . 2
67 fzfid 11314 . . . . . . 7
68 ax-1cn 9050 . . . . . . 7
69 fsumconst 12575 . . . . . . 7
7067, 68, 69sylancl 645 . . . . . 6
71 nnnn0 10230 . . . . . . . . 9
7271adantl 454 . . . . . . . 8
73 hashfz1 11632 . . . . . . . 8
7472, 73syl 16 . . . . . . 7
7574oveq1d 6098 . . . . . 6
76 nncn 10010 . . . . . . . 8
7776adantl 454 . . . . . . 7
7877mulid1d 9107 . . . . . 6
7970, 75, 783eqtrd 2474 . . . . 5
802a1i 11 . . . . . 6
81 elfznn 11082 . . . . . . . . 9
82 nnnn0 10230 . . . . . . . . 9
8381, 82syl 16 . . . . . . . 8
8483ssriv 3354 . . . . . . 7
8584a1i 11 . . . . . 6
865adantl 454 . . . . . 6
877a1i 11 . . . . . 6
88 0le1 9553 . . . . . . 7
8988a1i 11 . . . . . 6
9063adantr 453 . . . . . 6
911, 80, 67, 85, 86, 87, 89, 90isumless 12627 . . . . 5
9279, 91eqbrtrrd 4236 . . . 4
93 nnre 10009 . . . . 5
94 lenlt 9156 . . . . 5
9593, 64, 94syl2anr 466 . . . 4
9692, 95mpbid 203 . . 3
9796nrexdv 2811 . 2
9866, 97pm2.65i 168 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878   cdm 4880  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  cn0 10223  cz 10284  cfz 11045   cseq 11325  cexp 11384  chash 11620   cli 12280  csu 12481 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
 Copyright terms: Public domain W3C validator