MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheq0 Unicode version

Theorem hasheq0 11632
Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hasheq0  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9116 . . . . . . 7  |-  +oo  e/  RR
2 df-nel 2601 . . . . . . 7  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
31, 2mpbi 200 . . . . . 6  |-  -.  +oo  e.  RR
4 hashinf 11611 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
54eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  e.  RR  <->  +oo 
e.  RR ) )
63, 5mtbiri 295 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  e.  RR )
7 id 20 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  =  0  ->  ( # `
 A )  =  0 )
8 0re 9080 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
97, 8syl6eqel 2523 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  =  0  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
106, 9nsyl 115 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  =  0 )
11 id 20 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  A  =  (/) )
12 0fin 7327 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
1311, 12syl6eqel 2523 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  A  e. 
Fin )
1413con3i 129 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  A  =  (/) )
1514adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  =  (/) )
1610, 152falsed 341 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  =  0  <-> 
A  =  (/) ) )
1716ex 424 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( # `  A
)  =  0  <->  A  =  (/) ) ) )
18 hashen 11619 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  (/) 
e.  Fin )  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  A  ~~  (/) ) )
1912, 18mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  A  ~~  (/) ) )
20 fz10 11064 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2120fveq2i 5722 . . . . 5  |-  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  (
# `  (/) )
22 0nn0 10225 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
23 hashfz1 11618 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  0 )
2422, 23ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  0
2521, 24eqtr3i 2457 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2625eqeq2i 2445 . . 3  |-  ( (
# `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  ( # `  A
)  =  0 )
27 en0 7161 . . 3  |-  ( A 
~~  (/)  <->  A  =  (/) )
2819, 26, 273bitr3g 279 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
2917, 28pm2.61d2 154 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    e/ wnel 2599   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ~~ cen 7097   Fincfn 7100   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    +oocpnf 9106   NN0cn0 10210   ...cfz 11032   #chash 11606
This theorem is referenced by:  hashnncl  11633  hash0  11634  hashgt0  11650  hashle00  11657  seqcoll2  11701  wrdind  11779  rev0  11784  fz1f1o  12492  hashbc0  13361  0hashbc  13363  ram0  13378  sylow1lem1  15220  sylow1lem4  15223  sylow2blem3  15244  frgpnabllem1  15472  vieta1lem2  20216  isusgra0  21364  usgrafisindb0  21410  vdusgra0nedg  21667  usgravd0nedg  21671  hasheuni  24463  swrdccat3a0  28090  swrdccat3a  28105  swrdccat3b  28106  vdn0frgrav2  28272  vdgn0frgrav2  28273  frgrawopreg  28296  frgregordn0  28317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-hash 11607
  Copyright terms: Public domain W3C validator