MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheq0 Structured version   Unicode version

Theorem hasheq0 11649
Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hasheq0  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9132 . . . . . . 7  |-  +oo  e/  RR
21neli 2699 . . . . . 6  |-  -.  +oo  e.  RR
3 hashinf 11628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
43eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  e.  RR  <->  +oo 
e.  RR ) )
52, 4mtbiri 296 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  e.  RR )
6 id 21 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  =  0  ->  ( # `
 A )  =  0 )
7 0re 9096 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
86, 7syl6eqel 2526 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  =  0  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
95, 8nsyl 116 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  =  0 )
10 id 21 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  A  =  (/) )
11 0fin 7339 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
1210, 11syl6eqel 2526 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  A  e. 
Fin )
1312con3i 130 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  A  =  (/) )
1413adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  =  (/) )
159, 142falsed 342 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  =  0  <-> 
A  =  (/) ) )
1615ex 425 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( # `  A
)  =  0  <->  A  =  (/) ) ) )
17 hashen 11636 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  (/) 
e.  Fin )  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  A  ~~  (/) ) )
1811, 17mpan2 654 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  A  ~~  (/) ) )
19 fz10 11080 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2019fveq2i 5734 . . . . 5  |-  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  (
# `  (/) )
21 0nn0 10241 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
22 hashfz1 11635 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  0 )
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  0
2420, 23eqtr3i 2460 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2524eqeq2i 2448 . . 3  |-  ( (
# `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  ( # `  A
)  =  0 )
26 en0 7173 . . 3  |-  ( A 
~~  (/)  <->  A  =  (/) )
2718, 25, 263bitr3g 280 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
2816, 27pm2.61d2 155 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ~~ cen 7109   Fincfn 7112   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    +oocpnf 9122   NN0cn0 10226   ...cfz 11048   #chash 11623
This theorem is referenced by:  hashnncl  11650  hash0  11651  hashgt0  11667  hashle00  11674  seqcoll2  11718  wrdind  11796  rev0  11801  fz1f1o  12509  hashbc0  13378  0hashbc  13380  ram0  13395  sylow1lem1  15237  sylow1lem4  15240  sylow2blem3  15261  frgpnabllem1  15489  vieta1lem2  20233  isusgra0  21381  usgrafisindb0  21427  vdusgra0nedg  21684  usgravd0nedg  21688  hasheuni  24480  wrdlenge2n0  28208  swrdtrcfv0  28229  swrdccat3a  28251  swrdccat3blem  28252  2cshwmod  28291  swrdtrcfvl  28299  vdn0frgrav2  28488  vdgn0frgrav2  28489  frgrawopreg  28512  frgregordn0  28533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator