HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hatomistici Unicode version

Theorem hatomistici 22867
Description:  CH is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hatomistic.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
hatomistici  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem hatomistici
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3200 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ HAtoms
2 atssch 22848 . . . . 5  |- HAtoms  C_  CH
31, 2sstri 3130 . . . 4  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH
4 chsupcl 21844 . . . 4  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  CH )
53, 4ax-mp 10 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  CH
6 hatomistic.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
76chshii 21732 . . 3  |-  A  e.  SH
8 atelch 22849 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  e.  CH )
98anim1i 554 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  (
y  e.  CH  /\  y  C_  A ) )
10 sseq1 3141 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
1110elrab 2874 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A ) )
1210elrab 2874 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. 
CH  /\  y  C_  A ) )
139, 11, 123imtr4i 259 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  e.  { x  e.  CH  |  x  C_  A } )
1413ssriv 3126 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }
15 ssrab2 3200 . . . . . 6  |-  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  C_  CH
16 chsupss 21846 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  CH 
/\  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  C_  CH )  ->  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
{ x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  C_  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
) ) )
173, 15, 16mp2an 656 . . . . 5  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } ) )
1814, 17ax-mp 10 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } )
19 chsupid 21916 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  ->  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A )
206, 19ax-mp 10 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A
2118, 20sseqtri 3152 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  A
22 elssuni 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
2311, 22sylbir 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_ 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)
24 chsupunss 21848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
253, 24ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
2623, 25syl6ss 3133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
2726ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
28 atne0 22850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  =/=  0H )
2928adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
y  =/=  0H )
30 ssin 3333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  y  C_  (
(  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
315chocini 21958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =  0H
3231sseq2i 3145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  0H )
3330, 32bitr2i 243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  0H  <->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
34 chle0 21947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CH  ->  (
y  C_  0H  <->  y  =  0H ) )
358, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  0H 
<->  y  =  0H ) )
3633, 35syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( ( y 
C_  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  =  0H ) )
3736biimpa 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  (
y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )  ->  y  =  0H )
3837expr 601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  y  =  0H ) )
3938necon3ad 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  =/=  0H  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4029, 39mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
4140ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
4227, 41syld 42 . . . . . . 7  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
43 imnan 413 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4442, 43sylib 190 . . . . . 6  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
45 ssin 3333 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4644, 45sylnib 297 . . . . 5  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4746nrex 2616 . . . 4  |-  -.  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
485choccli 21811 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  e.  CH
496, 48chincli 21964 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  e.  CH
5049hatomici 22864 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =/=  0H  ->  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
5150necon1bi 2462 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  ->  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H )
5247, 51ax-mp 10 . . 3  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H
535, 7, 21, 52omlsii 21907 . 2  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  =  A
5453eqcomi 2260 1  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517   {crab 2519    i^i cin 3093    C_ wss 3094   U.cuni 3768   ` cfv 4638   CHcch 21434   _|_cort 21435    \/H chsup 21439   0Hc0h 21440  HAtomscat 21470
This theorem is referenced by:  chpssati  22868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cc 7994  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589  ax-hcompl 21706
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-lm 16886  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cfil 18608  df-cau 18609  df-cmet 18610  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-subgo 20894  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-dip 21199  df-ssp 21223  df-ph 21316  df-cbn 21367  df-hnorm 21473  df-hba 21474  df-hvsub 21476  df-hlim 21477  df-hcau 21478  df-sh 21711  df-ch 21726  df-oc 21756  df-ch0 21757  df-span 21813  df-chsup 21815  df-cv 22784  df-at 22843
  Copyright terms: Public domain W3C validator