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Theorem hauscmplem 17474
Description: Lemma for hauscmp 17475. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hauscmp.1  |-  X  = 
U. J
hauscmplem.2  |-  O  =  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
hauscmplem.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
hauscmplem.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
hauscmplem.5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
hauscmplem.6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X 
\  S ) )
Assertion
Ref Expression
hauscmplem  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, A    w, J, y, z    ph, w, y, z   
w, S, y, z   
z, O    w, X, y, z
Allowed substitution hints:    O( y, w)

Proof of Theorem hauscmplem
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauscmplem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
21adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Haus )
3 hauscmplem.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
43sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  X )
5 hauscmplem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X 
\  S ) )
65eldifad 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
76adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  X )
8 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  S )
95eldifbd 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  S
)
10 nelne2 2696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  A  e.  S
)  ->  x  =/=  A )
118, 9, 10syl2anr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  A )
12 hauscmp.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
1312hausnei 17397 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  X  /\  A  e.  X  /\  x  =/=  A ) )  ->  E. y  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) ) )
142, 4, 7, 11, 13syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w )  =  (/) ) )
15 3anass 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
16 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
1716, 12syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  X )
1817adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  w  C_  X )
19 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  i^i  w )  =  ( w  i^i  y
)
2019eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  i^i  w )  =  (/)  <->  ( w  i^i  y )  =  (/) )
21 reldisj 3673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  X  ->  (
( w  i^i  y
)  =  (/)  <->  w  C_  ( X  \  y ) ) )
2220, 21syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  X  ->  (
( y  i^i  w
)  =  (/)  <->  w  C_  ( X  \  y ) ) )
2318, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( y  i^i  w
)  =  (/)  <->  w  C_  ( X  \  y ) ) )
24 haustop 17400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
252, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Top )
2612opncld 17102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2725, 26sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
2827adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
2912clsss2 17141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  y
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  w  C_  ( X  \  y
) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) )
3029ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( w  C_  ( X  \  y
)  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( X  \  y ) ) )
3128, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
w  C_  ( X  \  y )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) )
3223, 31sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( y  i^i  w
)  =  (/)  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) )
3332anim2d 550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
3433anim2d 550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( y  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
3515, 34syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
3635reximdva 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
37 r19.42v 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
3836, 37syl6ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
3938reximdva 2820 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( E. y  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
4014, 39mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
41 hauscmplem.2 . . . . . . . . 9  |-  O  =  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
4241unieqi 4027 . . . . . . . 8  |-  U. O  =  U. { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
4342eleq2i 2502 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. O  <->  x  e.  U. { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) } )
44 elunirab 4030 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
4543, 44bitri 242 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. O  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
4640, 45sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  U. O )
4746ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. O
) )
4847ssrdv 3356 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U. O )
49 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }  C_  J
5041, 49eqsstri 3380 . . . . 5  |-  O  C_  J
51 elpw2g 4366 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( O  e.  ~P J  <->  O  C_  J
) )
521, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  e.  ~P J 
<->  O  C_  J )
)
5350, 52mpbiri 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ~P J
)
541, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
55 hauscmplem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
5612cmpsub 17468 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) ) )
5756biimp3a 1284 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) )
5854, 3, 55, 57syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) )
59 unieq 4026 . . . . . . 7  |-  ( z  =  O  ->  U. z  =  U. O )
6059sseq2d 3378 . . . . . 6  |-  ( z  =  O  ->  ( S  C_  U. z  <->  S  C_  U. O
) )
61 pweq 3804 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  O  ->  ~P z  =  ~P O
)
6261ineq1d 3543 . . . . . . 7  |-  ( z  =  O  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P O  i^i  Fin ) )
6362rexeqdv 2913 . . . . . 6  |-  ( z  =  O  ->  ( E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) S  C_  U. x  <->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) )
6460, 63imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( z  =  O  ->  (
( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) S  C_  U. x
)  <->  ( S  C_  U. O  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) ) )
6564rspcva 3052 . . . 4  |-  ( ( O  e.  ~P J  /\  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) )  -> 
( S  C_  U. O  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) )
6653, 58, 65syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  C_  U. O  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) )
6748, 66mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
)
6854ad3antrrr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  J  e.  Top )
6912topopn 16984 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
7068, 69syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  X  e.  J )
716ad3antrrr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  A  e.  X )
7212clstop 17138 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  X )  =  X )
7368, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `  X )  =  X )
74 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  S  C_  U. x
)
75 unieq 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
76 uni0 4044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (/)  =  (/)
7775, 76syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
7877adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  =  (/) )
7974, 78sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  S  C_  (/) )
80 ss0 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  (/)  ->  S  =  (/) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  S  =  (/) )
8281difeq2d 3467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( X  \  S )  =  ( X  \  (/) ) )
83 dif0 3700 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  (/) )  =  X
8482, 83syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( X  \  S )  =  X )
8573, 84eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `  X )  =  ( X  \  S ) )
86 eqimss 3402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  X )  =  ( X  \  S )  ->  (
( cls `  J
) `  X )  C_  ( X  \  S
) )
8785, 86syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `  X )  C_  ( X  \  S ) )
88 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  X ) )
89 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
( cls `  J
) `  z )  =  ( ( cls `  J ) `  X
) )
9089sseq1d 3377 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
)  <->  ( ( cls `  J ) `  X
)  C_  ( X  \  S ) ) )
9188, 90anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  ( X  \  S ) )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( cls `  J
) `  X )  C_  ( X  \  S
) ) ) )
9291rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( cls `  J
) `  X )  C_  ( X  \  S
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
9370, 71, 87, 92syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
94 elin 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P O  /\  x  e.  Fin ) )
95 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
96 elpwi 3809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P O  ->  x  C_  O )
9796sseld 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P O  -> 
( z  e.  x  ->  z  e.  O ) )
98 difeq2 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( X  \  y )  =  ( X  \  z
) )
9998sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
)  <->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( X  \  z ) ) )
10099anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) )  <->  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
101100rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  ( E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) )  <->  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
102101, 41elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  O  <->  ( z  e.  J  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
103102simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  O  ->  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) )
10497, 103syl6 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P O  -> 
( z  e.  x  ->  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
105104ralrimiv 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P O  ->  A. z  e.  x  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) )
106 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  ( A  e.  w  <->  A  e.  ( f `  z
) ) )
107 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  =  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
) )
108107sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
)  <->  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
)  C_  ( X  \  z ) ) )
109106, 108anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) )  <->  ( A  e.  ( f `  z
)  /\  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  C_  ( X  \  z ) ) ) )
110109ac6sfi 7354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. z  e.  x  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) )  ->  E. f ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
11195, 105, 110syl2anr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P O  /\  x  e.  Fin )  ->  E. f ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
11294, 111sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  ->  E. f
( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z
)  /\  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  C_  ( X  \  z ) ) ) )
113112ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  E. f ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
11454ad3antrrr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
115 frn 5600 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : x --> J  ->  ran  f  C_  J )
116115ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ran  f  C_  J )
117 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
118 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) )  -> 
f : x --> J )
119 dm0rn0 5089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  f  =  (/)  <->  ran  f  =  (/) )
120 fdm 5598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : x --> J  ->  dom  f  =  x
)
121120eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : x --> J  -> 
( dom  f  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
122119, 121syl5rbbr 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : x --> J  -> 
( x  =  (/)  <->  ran  f  =  (/) ) )
123122necon3bid 2638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : x --> J  -> 
( x  =/=  (/)  <->  ran  f  =/=  (/) ) )
124123biimpac 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  f : x --> J )  ->  ran  f  =/=  (/) )
125117, 118, 124syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ran  f  =/=  (/) )
12694simprbi 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
127126ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  Fin )
128 ffn 5594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : x --> J  -> 
f  Fn  x )
129 dffn4 5662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  x  <->  f :
x -onto-> ran  f )
130128, 129sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : x --> J  -> 
f : x -onto-> ran  f )
131130adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) )  -> 
f : x -onto-> ran  f )
132 fofi 7395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  f : x -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
133127, 131, 132syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
134 fiinopn 16979 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ran  f  C_  J  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e. 
Fin )  ->  |^| ran  f  e.  J )
)
135134imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  C_  J  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e.  Fin )
)  ->  |^| ran  f  e.  J )
136114, 116, 125, 133, 135syl13anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^| ran  f  e.  J )
137 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  A  e.  ( f `  z
) )
138137ralimi 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z
) )
139138ad2antll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z ) )
1405ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A  e.  ( X  \  S ) )
141 eliin 4100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( X  \  S )  ->  ( A  e.  |^|_ z  e.  x  ( f `  z )  <->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z
) ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( A  e. 
|^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  <->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z ) ) )
143139, 142mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A  e.  |^|_ z  e.  x  (
f `  z )
)
144128ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  f  Fn  x
)
145 fnrnfv 5776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  x  ->  ran  f  =  { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( f `  z ) } )
146145inteqd 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  |^| ran  f  =  |^| { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( f `  z ) } )
147 fvex 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
148147dfiin2 4128 . . . . . . . . . . 11  |-  |^|_ z  e.  x  ( f `  z )  =  |^| { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( f `  z
) }
149146, 148syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  ->  |^| ran  f  =  |^|_ z  e.  x  ( f `  z ) )
150144, 149syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^| ran  f  = 
|^|_ z  e.  x  ( f `  z
) )
151143, 150eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A  e.  |^| ran  f )
152117adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  x  =/=  (/) )
15354ad4antr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  J  e.  Top )
154 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : x --> J  /\  z  e.  x )  ->  ( f `  z
)  e.  J )
155154adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  J
)
156 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  z )  e.  J  ->  (
f `  z )  C_ 
U. J )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  C_  U. J
)
158157, 12syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  C_  X
)
15912clscld 17116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( f `  z
)  C_  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
160153, 158, 159syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
161160ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  ->  A. z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
162161adantrr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A. z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
163 iincld 17108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
164152, 162, 163syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
16512sscls 17125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( f `  z
)  C_  X )  ->  ( f `  z
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
166153, 158, 165syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  C_  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
167166ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  ->  A. z  e.  x  ( f `  z
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
168 ssel 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  z ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
)  ->  ( y  e.  ( f `  z
)  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) ) )
169168ral2imi 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  x  (
f `  z )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  -> 
( A. z  e.  x  y  e.  ( f `  z )  ->  A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) ) )
170 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
171 eliin 4100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( f `  z )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( f `  z
) ) )
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  |^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( f `  z ) )
173 eliin 4100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) ) )
174170, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
175169, 172, 1743imtr4g 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  x  (
f `  z )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  -> 
( y  e.  |^|_ z  e.  x  (
f `  z )  ->  y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) ) )
176175ssrdv 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  (
f `  z )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( f `  z ) 
C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
177167, 176syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  ->  |^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
) )
178177adantrr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
) )
179150, 178eqsstrd 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^| ran  f  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
18012clsss2 17141 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
|^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  |^| ran  f  C_ 
|^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
181164, 179, 180syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
182 ssel 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
)  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  -> 
y  e.  ( X 
\  z ) ) )
183182adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( f `  z ) )  -> 
y  e.  ( X 
\  z ) ) )
184183ral2imi 2784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  ( A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  ->  A. z  e.  x  y  e.  ( X  \  z
) ) )
185 eliin 4100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( X  \  z
) ) )
186170, 185ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
)  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( X  \  z ) )
187184, 174, 1863imtr4g 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  ->  y  e.  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
) ) )
188187ssrdv 3356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  C_  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z ) )
189188ad2antll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z ) )
190 iindif2 4162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  x  ( X  \ 
z )  =  ( X  \  U_ z  e.  x  z )
)
191152, 190syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
)  =  ( X 
\  U_ z  e.  x  z ) )
192 simplrl 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  S  C_  U. x
)
193 uniiun 4146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. x  =  U_ z  e.  x  z
194193sseq2i 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  U. x  <->  S  C_  U_ z  e.  x  z )
195 sscon 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  U_ z  e.  x  z  ->  ( X  \  U_ z  e.  x  z )  C_  ( X  \  S ) )
196194, 195sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. x  ->  ( X  \  U_ z  e.  x  z )  C_  ( X  \  S ) )
197192, 196syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( X  \  U_ z  e.  x  z )  C_  ( X  \  S ) )
198191, 197eqsstrd 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
)  C_  ( X  \  S ) )
199189, 198sstrd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  S ) )
200181, 199sstrd 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  ( X  \  S ) )
201 eleq2 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( A  e.  z  <-> 
A  e.  |^| ran  f ) )
202 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( ( cls `  J
) `  z )  =  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f ) )
203202sseq1d 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  ( X  \  S )  <->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  ( X  \  S ) ) )
204201, 203anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `
 z )  C_  ( X  \  S ) )  <->  ( A  e. 
|^| ran  f  /\  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  f
)  C_  ( X  \  S ) ) ) )
205204rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( (
|^| ran  f  e.  J  /\  ( A  e. 
|^| ran  f  /\  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  f
)  C_  ( X  \  S ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
206136, 151, 200, 205syl12anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
207113, 206exlimddv 1649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
208207anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
20993, 208pm2.61dane 2684 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_ 
U. x )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
210209ex 425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  ->  ( S  C_  U. x  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) ) )
211210rexlimdva 2832 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) ) )
21267, 211mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|cint 4052   U_ciun 4095   |^|_ciin 4096   dom cdm 4881   ran crn 4882    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -onto->wfo 5455   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   ↾t crest 13653   Topctop 16963   Clsdccld 17085   clsccl 17087   Hauscha 17377   Compccmp 17454
This theorem is referenced by:  hauscmp  17475  hausllycmp  17562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090  df-haus 17384  df-cmp 17455
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