MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauspwpwf1 Unicode version

Theorem hauspwpwf1 18002
Description: Lemma for hauspwpwdom 18003. Points in the closure of a set in a Hausdorff space are characterized by the open neighborhoods they extend into the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauspwpwf1.x  |-  X  = 
U. J
hauspwpwf1.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
Assertion
Ref Expression
hauspwpwf1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A )
Distinct variable groups:    j, a, x, A    J, a, j, x    j, X, x
Allowed substitution hints:    F( x, j, a)    X( a)

Proof of Theorem hauspwpwf1
Dummy variables  k 
l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3549 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  i^i  A )  C_  A
2 vex 2946 . . . . . . . . . . . 12  |-  j  e. 
_V
32inex1 4331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  i^i  A )  e. 
_V
43elpw 3792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( j  i^i  A )  C_  A
)
51, 4mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  ( j  i^i  A )  e. 
~P A
6 eleq1 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( j  i^i 
A )  ->  (
a  e.  ~P A  <->  ( j  i^i  A )  e.  ~P A ) )
75, 6mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( j  i^i 
A )  ->  a  e.  ~P A )
87adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  -> 
a  e.  ~P A
)
98rexlimivw 2813 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  -> 
a  e.  ~P A
)
109abssi 3405 . . . . 5  |-  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  C_  ~P A
11 haustop 17378 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
12 hauspwpwf1.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
1312topopn 16962 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
1411, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Haus  ->  X  e.  J )
15 ssexg 4336 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  A  e.  _V )
1614, 15sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  J  e.  Haus )  ->  A  e.  _V )
1716ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
18 pwexg 4370 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
19 elpw2g 4350 . . . . . 6  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  e.  ~P ~P A  <->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } 
C_  ~P A ) )
2017, 18, 193syl 19 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  e.  ~P ~P A  <->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } 
C_  ~P A ) )
2110, 20mpbiri 225 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  e.  ~P ~P A )
2221a1d 23 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  e.  ~P ~P A
) )
23 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  J  e.  Haus )
2412clsss3 17106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
2511, 24sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
27 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
2826, 27sseldd 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  X )
29 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
3026, 29sseldd 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  X )
31 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  =/=  y )
3212hausnei 17375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  =/=  y ) )  ->  E. k  e.  J  E. l  e.  J  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) ) )
3323, 28, 30, 31, 32syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  E. k  e.  J  E. l  e.  J  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )
34 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  -> 
k  e.  J )
35 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  k )
36 eqidd 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  -> 
( k  i^i  A
)  =  ( k  i^i  A ) )
37 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (
x  e.  j  <->  x  e.  k ) )
38 ineq1 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  i^i  A )  =  ( k  i^i 
A ) )
3938eqeq2d 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (
( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A )  <->  ( k  i^i  A )  =  ( k  i^i  A ) ) )
4037, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
( x  e.  j  /\  ( k  i^i 
A )  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( x  e.  k  /\  ( k  i^i  A )  =  ( k  i^i  A
) ) ) )
4140rspcev 3039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  J  /\  ( x  e.  k  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( k  i^i  A ) ) )  ->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
4234, 35, 36, 41syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )
43 vex 2946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
4443inex1 4331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  i^i  A )  e. 
_V
45 eqeq1 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  (
a  =  ( j  i^i  A )  <->  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A ) ) )
4645anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( x  e.  j  /\  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A
) ) ) )
4746rexbidv 2713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  ( E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
)  <->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) ) )
4844, 47elab 3069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  i^i  A )  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
) }  <->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
4942, 48sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  -> 
( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) } )
5011ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  Top )
5150ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  J  e.  Top )
52 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_  X )
5352ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  A  C_  X )
54 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
5554ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
56 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )  -> 
l  e.  J )
5756ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  l  e.  J )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  j  e.  J )
59 inopn 16955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  l  e.  J  /\  j  e.  J )  ->  ( l  i^i  j
)  e.  J )
6051, 57, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
l  i^i  j )  e.  J )
61 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )  -> 
y  e.  l )
6261ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  l )
63 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  j )
64 elin 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( l  i^i  j )  <->  ( y  e.  l  /\  y  e.  j ) )
6562, 63, 64sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  ( l  i^i  j
) )
6612clsndisj 17122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( ( l  i^i  j )  e.  J  /\  y  e.  (
l  i^i  j )
) )  ->  (
( l  i^i  j
)  i^i  A )  =/=  (/) )
6751, 53, 55, 60, 65, 66syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
( l  i^i  j
)  i^i  A )  =/=  (/) )
68 n0 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( l  i^i  j
)  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A
) )
6967, 68sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  E. z 
z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A ) )
70 elin 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i 
A )  <->  ( z  e.  ( l  i^i  j
)  /\  z  e.  A ) )
71 elin 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( l  i^i  j )  <->  ( z  e.  l  /\  z  e.  j ) )
7271anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( l  i^i  j )  /\  z  e.  A )  <->  ( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) )
7370, 72bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i 
A )  <->  ( (
z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A
) )
74 elin 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( j  i^i 
A )  <->  ( z  e.  j  /\  z  e.  A ) )
7574biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  j  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( j  i^i  A ) )
7675adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( j  i^i  A
) )
7776ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  z  e.  ( j  i^i  A ) )
78 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  l )
7978ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  z  e.  l )
80 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )  -> 
( k  i^i  l
)  =  (/) )
8180ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  ( k  i^i  l )  =  (/) )
82 minel 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) )  ->  -.  z  e.  k
)
83 inss1 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  i^i  A )  C_  k
8483sseli 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( k  i^i 
A )  ->  z  e.  k )
8582, 84nsyl 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) )  ->  -.  z  e.  (
k  i^i  A )
)
8679, 81, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  -.  z  e.  ( k  i^i  A
) )
87 nelneq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ( j  i^i  A )  /\  -.  z  e.  (
k  i^i  A )
)  ->  -.  (
j  i^i  A )  =  ( k  i^i 
A ) )
8877, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  -.  ( j  i^i  A )  =  ( k  i^i  A ) )
89 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  i^i  A )  =  ( k  i^i 
A )  <->  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A ) )
9088, 89sylnib 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  -.  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A ) )
9190expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )
9273, 91syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )
9392exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  ( E. z  z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A
)  ->  -.  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
9469, 93mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) )
9594anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  /\  (
( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J
)  /\  y  e.  j )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) )
96 nan 564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  /\  (
( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J
)  ->  -.  (
y  e.  j  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )  <->  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J )  /\  y  e.  j
)  ->  -.  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
9795, 96mpbir 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J )  ->  -.  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A
) ) )
9897nrexdv 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i 
A )  =  ( j  i^i  A ) ) )
9945anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  (
( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A
) ) ) )
10099rexbidv 2713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  ( E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i 
A )  =  ( j  i^i  A ) ) ) )
10144, 100elab 3069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  i^i  A )  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  <->  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
10298, 101sylnibr 297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) } )
103 nelne1 2682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  /\  -.  ( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) } )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
) }  =/=  {
a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } )
10449, 102, 103syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
105104expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( k  e.  J  /\  l  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } ) )
106105rexlimdvva 2824 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  ( E. k  e.  J  E. l  e.  J  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) )  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) )
10733, 106mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } )
108107ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  (
x  =/=  y  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) )
109108necon4d 2656 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  ->  x  =  y ) )
110 eleq1 2490 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  j  <->  y  e.  j ) )
111110anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) ) )
112111rexbidv 2713 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
)  <->  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) ) )
113112abbidv 2544 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  (
y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
114109, 113impbid1 195 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  <->  x  =  y ) )
115114ex 424 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( {
a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  <->  x  =  y ) ) )
11622, 115dom2lem 7133 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } ) : ( ( cls `  J ) `
 A ) -1-1-> ~P ~P A )
117 hauspwpwf1.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
118 f1eq1 5620 . . 3  |-  ( F  =  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )  ->  ( F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) : ( ( cls `  J ) `
 A ) -1-1-> ~P ~P A ) )
119117, 118ax-mp 8 . 2  |-  ( F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) : ( ( cls `  J ) `
 A ) -1-1-> ~P ~P A )
120116, 119sylibr 204 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2416    =/= wne 2593   E.wrex 2693   _Vcvv 2943    i^i cin 3306    C_ wss 3307   (/)c0 3615   ~Pcpw 3786   U.cuni 4002    e. cmpt 4253   -1-1->wf1 5437   ` cfv 5440   Topctop 16941   clsccl 17065   Hauscha 17355
This theorem is referenced by:  hauspwpwdom  18003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-top 16946  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068  df-haus 17362
  Copyright terms: Public domain W3C validator