HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem hbae 1703
Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
hbae  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )

Proof of Theorem hbae
StepHypRef Expression
1 ax-4 1590 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  x  =  y )
2 ax-12o 1563 . . . . 5  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
31, 2syl7 63 . . . 4  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
4 ax10o 1697 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
54alequcoms 1580 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
6 ax10o 1697 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
)
76pm2.43i 43 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
8 ax10o 1697 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
97, 8syl5 28 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
109alequcoms 1580 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
113, 5, 10pm2.61ii 155 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
1211a5i 1603 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. x A. z  x  =  y )
13 ax-7 1444 . 2  |-  ( A. x A. z  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
1412, 13syl 15 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1441
This theorem is referenced by:  hbaes  1705  hbnae  1706  dral1  1714  dral2  1716  drex2  1719  sbequ5  1755  aev  1773  hbsb4  1820  sbcom  1830  sbcom2  1917  exists1  2039  copsexg  3812  axextnd  7691  axrepnd  7694  axunnd  7696  axpowndlem3  7699  axpownd  7701  axregndlem1  7702  axregnd  7704  axacndlem1  7707  axacndlem2  7708  axacndlem3  7709  axacndlem4  7710  axacndlem5  7711  axacnd  7712  copsexgb  22825  a9e2eq  25656  a12stdy3  27498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-17 1529  ax-12o 1563  ax-10 1577  ax-9 1583  ax-4 1590
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-ex 1447
Copyright terms: Public domain