Theorem hbco 3284

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbco.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbco.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbco	|- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 3184	. 2 |- (A o. B) = {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)}
2		ax-17 970	. . . . . 6 |- (y e. z -> A.x y e. z)
3		hbco.2	. . . . . 6 |- (y e. B -> A.x y e. B)
4		ax-17 970	. . . . . 6 |- (y e. v -> A.x y e. v)
5	2, 3, 4	hbbr 2655	. . . . 5 |- (zBv -> A.x zBv)
6		hbco.1	. . . . . 6 |- (y e. A -> A.x y e. A)
7		ax-17 970	. . . . . 6 |- (y e. w -> A.x y e. w)
8	4, 6, 7	hbbr 2655	. . . . 5 |- (vAw -> A.x vAw)
9	5, 8	hban 1008	. . . 4 |- ((zBv /\ vAw) -> A.x(zBv /\ vAw))
10	9	hbex 1005	. . 3 |- (E.v(zBv /\ vAw) -> A.xE.v(zBv /\ vAw))
11	10	hbopab 2809	. 2 |- (y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)} -> A.x y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)})
12	1, 11	hbxfr 1562	1 |- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   e. wcel 957  E.wex 979   class class class wbr 2616  {copab 2663   o. ccom 3171

This theorem is referenced by:  hbfun 3533  fopabco 3829  ac6lem 4741

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-br 2617  df-opab 2664  df-co 3184

Copyright terms: Public domain