Theorem hbfv 3724

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbfv.1	|- (y e. F -> A.x y e. F)
hbfv.2	|- (y e. A -> A.x y e. A)

Assertion

Ref	Expression
hbfv	|- (y e. (F` A) -> A.x y e. (F` A))

Distinct variable groups:   y,F   y,A   x,y

Proof of Theorem hbfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 3194	. 2 |- (F` A) = U.{z | (F"{A}) = {z}}
2		hbfv.1	. . . . . 6 |- (y e. F -> A.x y e. F)
3		hbfv.2	. . . . . . 7 |- (y e. A -> A.x y e. A)
4	3	hbsn 2435	. . . . . 6 |- (y e. {A} -> A.x y e. {A})
5	2, 4	hbima 3407	. . . . 5 |- (y e. (F"{A}) -> A.x y e. (F"{A}))
6		ax-17 970	. . . . 5 |- (y e. {z} -> A.x y e. {z})
7	5, 6	hbeq 1563	. . . 4 |- ((F"{A}) = {z} -> A.x(F"{A}) = {z})
8	7	hbab 1466	. . 3 |- (y e. {z | (F"{A}) = {z}} -> A.x y e. {z | (F"{A}) = {z}})
9	8	hbuni 2505	. 2 |- (y e. U.{z | (F"{A}) = {z}} -> A.x y e. U.{z | (F"{A}) = {z}})
10	1, 9	hbxfr 1561	1 |- (y e. (F` A) -> A.x y e. (F` A))

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  {csn 2406  U.cuni 2499  "cima 3169  ` cfv 3178

This theorem is referenced by:  hbfvd 3725  hbfvd2 3726  csbfv12g 3737  fvopab2 3786  eqfnfvf 3793  elrnopabg 3795  ffnfvf 3824  abrexexlem2 3854  funiunfvf 3865  f1fvf 3870  hbiso 3887  hbrdg 3931  rdgsucopab 3941  rdgsucopabn 3942  frsucopab 3949  abianfplem 3956  hbopr 3976  dom2d 4394  unblem2 4527  unblem3 4528  inf0 4589  trcl 4628  tz9.12lem3 4644  rankid 4655  rankval4 4685  uniimadomf 4794  cardprc 4844  cardaleph 4868  alephfplem2 4880  om2uzsuc 6246  hbsum1 6936  hbsum 6937  fsumserzf 6953  isumvaltf 7146  isumnn0nna 7160  isummulc1a 7166  isumcmpi 7167  minvecdist 8544  cnlnadjlem5 9960

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3180  df-cnv 3182  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fv 3194

Copyright terms: Public domain