Theorem hbima 3411

Description: Bound-variable hypothesis builder for image.

Hypotheses

Ref	Expression
hbima.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbima.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbima	|- (y e. (A"B) -> A.x y e. (A"B))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 971	. . . . 5 |- (w e. z -> A.x w e. z)
2		hbima.2	. . . . 5 |- (y e. B -> A.x y e. B)
3	1, 2	hbel 1566	. . . 4 |- (z e. B -> A.x z e. B)
4		ax-17 971	. . . . . 6 |- (w e. y -> A.x w e. y)
5	1, 4	hbop 2496	. . . . 5 |- (w e. <.z, y>. -> A.x w e. <.z, y>.)
6		hbima.1	. . . . 5 |- (y e. A -> A.x y e. A)
7	5, 6	hbel 1566	. . . 4 |- (<.z, y>. e. A -> A.x<.z, y>. e. A)
8	3, 7	hban 1009	. . 3 |- ((z e. B /\ <.z, y>. e. A) -> A.x(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
9	8	hbex 1006	. 2 |- (E.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A) -> A.xE.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
10		visset 1813	. . 3 |- y e. V
11	10	elima3 3410	. 2 |- (y e. (A"B) <-> E.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
12	11	albii 999	. 2 |- (A.x y e. (A"B) <-> A.xE.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
13	9, 11, 12	3imtr4 219	1 |- (y e. (A"B) -> A.x y e. (A"B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411  "cima 3173

This theorem is referenced by:  hbimad 3412  csbima12g 3413  hbfv 3729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191

Copyright terms: Public domain