Theorem hbiso 3889

Description: Bound-variable hypothesis builder for an isomorphism.

Hypotheses

Ref	Expression
hbiso.1	|- (y e. H -> A.x y e. H)
hbiso.2	|- (y e. R -> A.x y e. R)
hbiso.3	|- (y e. S -> A.x y e. S)
hbiso.4	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbiso.5	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbiso	|- (H Isom R, S (A, B) -> A.x H Isom R, S (A, B))

Distinct variable groups:   y,H   y,R   y,S   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbiso.1	. . . 4 |- (y e. H -> A.x y e. H)
2		hbiso.4	. . . 4 |- (y e. A -> A.x y e. A)
3		hbiso.5	. . . 4 |- (y e. B -> A.x y e. B)
4	1, 2, 3	hbf1o 3684	. . 3 |- (H:A-1-1-onto->B -> A.x H:A-1-1-onto->B)
5		ax-17 970	. . . . 5 |- (y e. z -> A.x y e. z)
6	5, 2	hbel 1565	. . . 4 |- (z e. A -> A.x z e. A)
7		ax-17 970	. . . . . 6 |- (y e. w -> A.x y e. w)
8	7, 2	hbel 1565	. . . . 5 |- (w e. A -> A.x w e. A)
9		hbiso.2	. . . . . . 7 |- (y e. R -> A.x y e. R)
10	5, 9, 7	hbbr 2655	. . . . . 6 |- (zRw -> A.x zRw)
11	1, 5	hbfv 3726	. . . . . . 7 |- (y e. (H` z) -> A.x y e. (H` z))
12		hbiso.3	. . . . . . 7 |- (y e. S -> A.x y e. S)
13	1, 7	hbfv 3726	. . . . . . 7 |- (y e. (H` w) -> A.x y e. (H` w))
14	11, 12, 13	hbbr 2655	. . . . . 6 |- ((H` z)S(H` w) -> A.x(H` z)S(H` w))
15	10, 14	hbbi 1009	. . . . 5 |- ((zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> A.x(zRw <-> (H` z)S(H` w)))
16	8, 15	hbral 1685	. . . 4 |- (A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> A.xA.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))
17	6, 16	hbral 1685	. . 3 |- (A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> A.xA.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))
18	4, 17	hban 1008	. 2 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> A.x(H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
19		df-iso 3196	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
20	19	albii 998	. 2 |- (A.x H Isom R, S (A, B) <-> A.x(H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
21	18, 19, 20	3imtr4 219	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> A.x H Isom R, S (A, B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 953   e. wcel 957  A.wral 1644   class class class wbr 2616  -1-1-onto->wf1o 3178  ` cfv 3179   Isom wiso 3180

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-iso 3196

Copyright terms: Public domain