Theorem hbopab 2818

Description: Bound-variable hypothesis builder for class abstraction.

Hypothesis

Ref	Expression
hbopab.1	|- (ph -> A.zph)

Assertion

Ref	Expression
hbopab	|- (w e. {<.x, y>. | ph} -> A.z w e. {<.x, y>. | ph})

Distinct variable groups:   x,z,w   y,z,w

Proof of Theorem hbopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 973	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> A.z w = <.x, y>.)
2		hbopab.1	. . . . 5 |- (ph -> A.zph)
3	1, 2	hban 1011	. . . 4 |- ((w = <.x, y>. /\ ph) -> A.z(w = <.x, y>. /\ ph))
4	3	hbex 1008	. . 3 |- (E.y(w = <.x, y>. /\ ph) -> A.zE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
5	4	hbex 1008	. 2 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) -> A.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
6		elopab 2817	. 2 |- (w e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
7	6	albii 1001	. 2 |- (A.z w e. {<.x, y>. | ph} <-> A.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
8	5, 6, 7	3imtr4 219	1 |- (w e. {<.x, y>. | ph} -> A.z w e. {<.x, y>. | ph})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415  {copab 2671

This theorem is referenced by:  hbco 3293  hbrdg 3942  mapxpen 4501  tz9.12lem3 4671  hbsum 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672

Copyright terms: Public domain