Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbt Unicode version

Theorem hbt 27244
 Description: The Hilbert Basis Theorem - the ring of univariate polynomials over a Noetherian ring is a Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hbt.p Poly1
Assertion
Ref Expression
hbt LNoeR LNoeR

Proof of Theorem hbt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnrrng 27226 . . 3 LNoeR
2 hbt.p . . . 4 Poly1
32ply1rng 16625 . . 3
41, 3syl 16 . 2 LNoeR
5 eqid 2430 . . . . . . . 8
6 eqid 2430 . . . . . . . 8 LIdeal LIdeal
75, 6islnr3 27229 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal NoeACS
87simprbi 451 . . . . . 6 LNoeR LIdeal NoeACS
98adantr 452 . . . . 5 LNoeR LIdeal LIdeal NoeACS
10 eqid 2430 . . . . . . 7 LIdeal LIdeal
11 eqid 2430 . . . . . . 7 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
122, 10, 11, 6hbtlem7 27239 . . . . . 6 LIdeal ldgIdlSeqLIdeal
131, 12sylan 458 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeqLIdeal
141ad2antrr 707 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
15 simplr 732 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal LIdeal
16 simpr 448 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
17 peano2nn0 10244 . . . . . . . 8
1817adantl 453 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
19 nn0re 10214 . . . . . . . . 9
2019lep1d 9926 . . . . . . . 8
2120adantl 453 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
222, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 21hbtlem4 27240 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
2322ralrimiva 2776 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
24 nacsfix 26698 . . . . 5 LIdeal NoeACS ldgIdlSeqLIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
259, 13, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
26 fzfi 11294 . . . . . . 7
27 eqid 2430 . . . . . . . . 9 RSpan RSpan
28 simpll 731 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal LNoeR
29 simplr 732 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal LIdeal
30 elfznn0 11067 . . . . . . . . . 10
3130adantl 453 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal
322, 10, 11, 27, 28, 29, 31hbtlem6 27243 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3332ralrimiva 2776 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
34 fveq2 5714 . . . . . . . . . . 11 RSpan RSpan
3534fveq2d 5718 . . . . . . . . . 10 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
3635fveq1d 5716 . . . . . . . . 9 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
3736sseq2d 3363 . . . . . . . 8 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3837ac6sfi 7337 . . . . . . 7 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3926, 33, 38sylancr 645 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
4039adantr 452 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
41 frn 5583 . . . . . . . . . . . . 13
4241ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
43 inss1 3548 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43syl6ss 3347 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
4544unissd 4026 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
46 unipw 4401 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl6sseq 3381 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
48 simpllr 736 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan LIdeal
49 eqid 2430 . . . . . . . . . . 11
5049, 10lidlss 16263 . . . . . . . . . 10 LIdeal
5148, 50syl 16 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
5247, 51sstrd 3345 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
53 fvex 5728 . . . . . . . . 9
5453elpw2 4351 . . . . . . . 8
5552, 54sylibr 204 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
56 simprl 733 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
57 ffn 5577 . . . . . . . . 9
58 fniunfv 5980 . . . . . . . . 9
5956, 57, 583syl 19 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
60 inss2 3549 . . . . . . . . . . 11
6156ffvelrnda 5856 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6260, 61sseldi 3333 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6362ralrimiva 2776 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
64 iunfi 7380 . . . . . . . . 9
6526, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6659, 65eqeltrrd 2505 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
67 elin 3517 . . . . . . 7
6855, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
691ad3antrrr 711 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
704ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7127, 49, 10rspcl 16276 . . . . . . . . 9 RSpan LIdeal
7270, 52, 71syl2anc 643 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
7327, 10rspssp 16280 . . . . . . . . 9 LIdeal RSpan
7470, 48, 47, 73syl3anc 1184 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
75 nn0re 10214 . . . . . . . . . . 11
7675adantl 453 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
77 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7978nn0red 10259 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
80 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
81 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
8277adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
83 fznn0 11097 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
8580, 81, 84mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
86 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
87 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
88 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8988fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RSpan RSpan
9089fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
91 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91fveq12d 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
9387, 92sseq12d 3364 . . . . . . . . . . . . . 14 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9493rspcva 3037 . . . . . . . . . . . . 13 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9585, 86, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9669adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
97 fvssunirn 5740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897, 52syl5ss 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9927, 49, 10rspcl 16276 . . . . . . . . . . . . . . 15 RSpan LIdeal
10070, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
10272adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
10369, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
10527, 49rspssid 16277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RSpan
10670, 52, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
10897, 107syl5ss 3346 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
10927, 10rspssp 16280 . . . . . . . . . . . . . 14 RSpan LIdeal RSpan RSpan RSpan
110104, 102, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan RSpan
1112, 10, 11, 96, 101, 102, 110, 80hbtlem3 27241 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
11295, 111sstrd 3345 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
113112anassrs 630 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
114 nn0z 10288 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 nn0z 10288 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 eluz2 10478 . . . . . . . . . . . . . . 15
120115, 117, 118, 119syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . 14
12177, 120sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
122 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
123122ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeq
124 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
125124eqeq1d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14 ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
126125rspcva 3037 . . . . . . . . . . . . 13 ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
127121, 123, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeq
12877nn0red 10259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
129128leidd 9577 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
130112expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
131130ralrimiva 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
132 breq1 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
134 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
135133, 134sseq12d 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
136132, 135imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
137136rspcva 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
13877, 131, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
139129, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
140139adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
14169adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
14272adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
14377adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
144 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
145 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
1462, 10, 11, 141, 142, 143, 144, 145hbtlem4 27240 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
147140, 146sstrd 3345 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
148127, 147eqsstrd 3369 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
149148anassrs 630 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
15076, 79, 113, 149lecasei 9163 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
151150ralrimiva 2776 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
1522, 10, 11, 69, 72, 48, 74, 151hbtlem5 27242 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
153152eqcomd 2435 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
154 fveq2 5714 . . . . . . . 8 RSpan RSpan
155154eqeq2d 2441 . . . . . . 7 RSpan RSpan
156155rspcev 3039 . . . . . 6 RSpan RSpan
15768, 153, 156syl2anc 643 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
15840, 157exlimddv 1648 . . . 4 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq RSpan
15925, 158rexlimddv 2821 . . 3 LNoeR LIdeal RSpan
160159ralrimiva 2776 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
16149, 10, 27islnr2 27228 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
1624, 160, 161sylanbrc 646 1 LNoeR LNoeR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2692  wrex 2693   cin 3306   wss 3307  cpw 3786  cuni 4002  ciun 4080   class class class wbr 4199   crn 4865   wfn 5435  wf 5436  cfv 5440  (class class class)co 6067  cfn 7095  cr 8973  cc0 8974  c1 8975   caddc 8977   cle 9105  cn0 10205  cz 10266  cuz 10472  cfz 11027  cbs 13452  crg 15643  LIdealclidl 16225  RSpancrsp 16226  Poly1cpl1 16554  NoeACScnacs 26688  LNoeRclnr 27223  ldgIdlSeqcldgis 27235 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-ofr 6292  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-seq 11307  df-hash 11602  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ocomp 13533  df-ds 13534  df-unif 13535  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-preset 14368  df-drs 14369  df-poset 14386  df-ipo 14561  df-mnd 14673  df-mhm 14721  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-mulg 14798  df-subg 14924  df-ghm 14987  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-cring 15647  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-subrg 15849  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-sra 16227  df-rgmod 16228  df-lidl 16229  df-rsp 16230  df-rlreg 16326  df-ascl 16357  df-psr 16400  df-mvr 16401  df-mpl 16402  df-opsr 16408  df-psr1 16559  df-vr1 16560  df-ply1 16561  df-coe1 16564  df-cnfld 16687  df-mdeg 19961  df-deg1 19962  df-nacs 26689  df-lfig 27076  df-lnm 27084  df-lnr 27224  df-ldgis 27236
 Copyright terms: Public domain W3C validator