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Theorem hbt 26745
Description: The Hilbert Basis Theorem - the ring of univariate polynomials over a Noetherian ring is a Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hbt.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
hbt  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e. LNoeR )

Proof of Theorem hbt
Dummy variables  a 
b  c  e  f  g  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnrrng 26727 . . 3  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
2 hbt.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 16322 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
75, 6islnr3 26730 . . . . . . 7  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) ) ) )
87simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( R  e. LNoeR  ->  (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) ) )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  (LIdeal `  R
)  e.  (NoeACS `  ( Base `  R )
) )
10 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
11 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  (ldgIdlSeq `  R
)  =  (ldgIdlSeq `  R
)
122, 10, 11, 6hbtlem7 26740 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) : NN0 --> (LIdeal `  R ) )
131, 12sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) : NN0 --> (LIdeal `  R ) )
141ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
15 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  a  e.  (LIdeal `  P ) )
16 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  b  e.  NN0 )
17 peano2nn0 10000 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
1817adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
19 nn0re 9970 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2019lep1d 9684 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  <_ 
( b  +  1 ) )
2120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  b  <_  ( b  +  1 ) )
222, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 21hbtlem4 26741 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  b
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  (
b  +  1 ) ) )
2322ralrimiva 2627 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  A. b  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  b )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  ( b  +  1 ) ) )
24 nacsfix 26198 . . . . 5  |-  ( ( (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) )  /\  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) : NN0 --> (LIdeal `  R )  /\  A. b  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  b
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  (
b  +  1 ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
259, 13, 23, 24syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. c  e.  NN0  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
26 fzfi 11030 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... c )  e. 
Fin
27 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  (RSpan `  P )  =  (RSpan `  P )
28 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  R  e. LNoeR )
29 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  a  e.  (LIdeal `  P )
)
30 elfznn0 10818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 ... c )  ->  e  e.  NN0 )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  e  e.  NN0 )
322, 10, 11, 27, 28, 29, 31hbtlem6 26744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) `  e ) )
3332ralrimiva 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  A. e  e.  ( 0 ... c
) E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) `  e ) )
34 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
(RSpan `  P ) `  b )  =  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) )
3534fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) )  =  ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  e )
) ) )
3635fveq1d 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) ) `  e ) )
3736sseq2d 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )  <->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
3837ac6sfi 7097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ... c
)  e.  Fin  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )
)  ->  E. f
( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i 
Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
3926, 33, 38sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. f
( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i 
Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  E. f ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
41 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  f :
( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin ) )
42 frn 5361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P a  i^i  Fin )
)
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P a  i^i  Fin ) )
44 inss1 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
~P a
4543, 44syl6ss 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ran  f  C_  ~P a )
46 uniss 3849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  C_  ~P a  ->  U. ran  f  C_  U. ~P a )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_ 
U. ~P a )
48 unipw 4223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ~P a  =  a
4947, 48syl6sseq 3225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  a )
50 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  e.  (LIdeal `  P ) )
51 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5251, 10lidlss 15957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  (LIdeal `  P
)  ->  a  C_  ( Base `  P )
)
5350, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  C_  ( Base `  P )
)
5449, 53sstrd 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  ( Base `  P
) )
55 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  P )  e.  _V
5655elpw2 4169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  f  e.  ~P ( Base `  P )  <->  U.
ran  f  C_  ( Base `  P ) )
5754, 56sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ~P ( Base `  P
) )
58 ffn 5355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  ->  f  Fn  ( 0 ... c ) )
59 fniunfv 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  ( 0 ... c )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  =  U. ran  f )
6041, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  =  U. ran  f )
61 inss2 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
Fin
62 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  g  e.  ( 0 ... c ) )  ->  ( f `  g )  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )
6341, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e.  ( 0 ... c
) )  ->  (
f `  g )  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) )
6461, 63sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e.  ( 0 ... c
) )  ->  (
f `  g )  e.  Fin )
6564ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  e.  Fin )
66 iunfi 7140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0 ... c
)  e.  Fin  /\  A. g  e.  ( 0 ... c ) ( f `  g )  e.  Fin )  ->  U_ g  e.  (
0 ... c ) ( f `  g )  e.  Fin )
6726, 65, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  e.  Fin )
6860, 67eqeltrrd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  Fin )
69 elin 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P
)  i^i  Fin )  <->  ( U. ran  f  e. 
~P ( Base `  P
)  /\  U. ran  f  e.  Fin ) )
7057, 68, 69sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) )
711ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  R  e.  Ring )
724ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  P  e.  Ring )
7327, 51, 10rspcl 15970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  U. ran  f  C_  ( Base `  P ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
7472, 54, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  e.  (LIdeal `  P ) )
7527, 10rspssp 15974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  a  e.  (LIdeal `  P )  /\  U. ran  f  C_  a )  ->  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) 
C_  a )
7672, 50, 49, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  C_  a
)
77 nn0re 9970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  NN0  ->  g  e.  RR )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  g  e.  RR )
79 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  c  e.  NN0 )
8180nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  c  e.  RR )
82 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  e.  NN0 )
83 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  <_  c )
8479adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
c  e.  NN0 )
85 fznn0 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  NN0  ->  ( g  e.  ( 0 ... c )  <->  ( g  e.  NN0  /\  g  <_ 
c ) ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( g  e.  ( 0 ... c )  <-> 
( g  e.  NN0  /\  g  <_  c )
) )
8782, 83, 86mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  e.  ( 0 ... c ) )
88 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  A. e  e.  (
0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )
89 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
) )
90 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  g  ->  (
f `  e )  =  ( f `  g ) )
9190fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  g  ->  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  e
) )  =  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  g
) ) )
9291fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  g  ->  (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) )  =  ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) )
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  g  ->  e  =  g )
9492, 93fveq12d 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
) )
9589, 94sseq12d 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  g  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e )  <->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  g
) ) ) `  g ) ) )
9695rspcva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  ( 0 ... c )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  g )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
) )
9787, 88, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) ) ) `
 g ) )
9871adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  R  e.  Ring )
99 fvssunirn 5513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f `
 g )  C_  U.
ran  f
10099, 54syl5ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( f `  g )  C_  ( Base `  P ) )
10127, 51, 10rspcl 15970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
f `  g )  C_  ( Base `  P
) )  ->  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  g
) )  e.  (LIdeal `  P ) )
10272, 100, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
)  e.  (LIdeal `  P ) )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) )  e.  (LIdeal `  P )
)
10474adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
10571, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  P  e.  Ring )
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  P  e.  Ring )
10727, 51rspssid 15971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  U. ran  f  C_  ( Base `  P ) )  ->  U. ran  f  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
10872, 54, 107syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) )
109108adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  U. ran  f  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
11099, 109syl5ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( f `  g
)  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
11127, 10rspssp 15974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f )  e.  (LIdeal `  P
)  /\  ( f `  g )  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
)  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
112106, 104, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) )  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
1132, 10, 11, 98, 103, 104, 112, 82hbtlem3 26742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
11497, 113sstrd 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
115114anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  /\  g  <_  c )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
116 nn0z 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  NN0  ->  c  e.  ZZ )
117116adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  c  e.  ZZ )
118 nn0z 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  e.  NN0  ->  g  e.  ZZ )
119118ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  g  e.  ZZ )
120 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  c  <_  g )
121 eluz2 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  ( ZZ>= `  c
)  <->  ( c  e.  ZZ  /\  g  e.  ZZ  /\  c  <_ 
g ) )
122117, 119, 120, 121syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  g  e.  ( ZZ>= `  c )
)
12379, 122sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
g  e.  ( ZZ>= `  c ) )
124 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
125124ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  ->  A. d  e.  ( ZZ>=
`  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
126 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  d
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
) )
127126eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  g  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  <->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) ) )
128127rspcva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  ( ZZ>= `  c )  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  d
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )
129123, 125, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
13079nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  e.  RR )
131130leidd 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  <_  c )
132114expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  (
g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) ) )
133132ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  NN0  ( g  <_ 
c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) ) )
134 breq1 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  c  ->  (
g  <_  c  <->  c  <_  c ) )
135 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  c  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )
136 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  c  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) )
137135, 136sseq12d 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  c  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
)  <->  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  c )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) )
138134, 137imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  c  ->  (
( g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )  <->  ( c  <_  c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) ) )
139138rspcva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  A. g  e.  NN0  (
g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) ) )  -> 
( c  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) ) )
14079, 133, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( c  <_  c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) )
141131, 140mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) )
142141adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) )
14371adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  ->  R  e.  Ring )
14474adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
14579adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
c  e.  NN0 )
146 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
g  e.  NN0 )
147 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
c  <_  g )
1482, 10, 11, 143, 144, 145, 146, 147hbtlem4 26741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
149142, 148sstrd 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
150129, 149eqsstrd 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
151150anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  /\  c  <_  g )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
15278, 81, 115, 151lecasei 8922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
153152ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  g )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
1542, 10, 11, 71, 74, 50, 76, 153hbtlem5 26743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  =  a )
155154eqcomd 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
156 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  U. ran  f  ->  ( (RSpan `  P
) `  b )  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
157156eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  U. ran  f  ->  ( a  =  ( (RSpan `  P ) `  b )  <->  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) )
158157rspcev 2885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin )  /\  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
15970, 155, 158syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
160159ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  ( ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P
)  i^i  Fin )
a  =  ( (RSpan `  P ) `  b
) ) )
161160exlimdv 1665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  ( E. f
( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i 
Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P
)  i^i  Fin )
a  =  ( (RSpan `  P ) `  b
) ) )
16240, 161mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P
)  i^i  Fin )
a  =  ( (RSpan `  P ) `  b
) )
163162expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  c  e.  NN0 )  ->  ( A. d  e.  ( ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  d
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) )
164163rexlimdva 2668 . . . 4  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( E. c  e.  NN0  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) )
16525, 164mpd 14 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
166165ralrimiva 2627 . 2  |-  ( R  e. LNoeR  ->  A. a  e.  (LIdeal `  P ) E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
16751, 10, 27islnr2 26729 . 2  |-  ( P  e. LNoeR 
<->  ( P  e.  Ring  /\ 
A. a  e.  (LIdeal `  P ) E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) )
1684, 166, 167sylanbrc 645 1  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e. LNoeR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ~Pcpw 3626   U.cuni 3828   U_ciun 3906   class class class wbr 4024   ran crn 4689    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Fincfn 6859   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    <_ cle 8864   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   ...cfz 10778   Basecbs 13144   Ringcrg 15333  LIdealclidl 15919  RSpancrsp 15920  Poly1cpl1 16248  NoeACScnacs 26188  LNoeRclnr 26724  ldgIdlSeqcldgis 26736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-ofr 6041  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-hash 11334  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ocomp 13225  df-ds 13226  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-preset 14058  df-drs 14059  df-poset 14076  df-ipo 14251  df-mnd 14363  df-mhm 14411  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-mulg 14488  df-subg 14614  df-ghm 14677  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-subrg 15539  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-sra 15921  df-rgmod 15922  df-lidl 15923  df-rsp 15924  df-rlreg 16020  df-ascl 16051  df-psr 16094  df-mvr 16095  df-mpl 16096  df-opsr 16102  df-psr1 16253  df-vr1 16254  df-ply1 16255  df-coe1 16258  df-cnfld 16374  df-mdeg 19437  df-deg1 19438  df-nacs 26189  df-lfig 26577  df-lnm 26585  df-lnr 26725  df-ldgis 26737
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