Theorem hbxp 3210

Description: Bound-variable hypothesis builder for cross product.

Hypotheses

Ref	Expression
hbxp.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbxp.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbxp	|- (y e. (A X. B) -> A.x y e. (A X. B))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 973	. . . . 5 |- (y = <.z, w>. -> A.x y = <.z, w>.)
2		ax-17 973	. . . . . . 7 |- (y e. z -> A.x y e. z)
3		hbxp.1	. . . . . . 7 |- (y e. A -> A.x y e. A)
4	2, 3	hbel 1569	. . . . . 6 |- (z e. A -> A.x z e. A)
5		ax-17 973	. . . . . . 7 |- (y e. w -> A.x y e. w)
6		hbxp.2	. . . . . . 7 |- (y e. B -> A.x y e. B)
7	5, 6	hbel 1569	. . . . . 6 |- (w e. B -> A.x w e. B)
8	4, 7	hban 1011	. . . . 5 |- ((z e. A /\ w e. B) -> A.x(z e. A /\ w e. B))
9	1, 8	hban 1011	. . . 4 |- ((y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) -> A.x(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
10	9	hbex 1008	. . 3 |- (E.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) -> A.xE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
11	10	hbex 1008	. 2 |- (E.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) -> A.xE.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
12		elxp 3208	. 2 |- (y e. (A X. B) <-> E.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
13	12	albii 1001	. 2 |- (A.x y e. (A X. B) <-> A.xE.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
14	11, 12, 13	3imtr4 219	1 |- (y e. (A X. B) -> A.x y e. (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415   X. cxp 3174

This theorem is referenced by:  hbres 3376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain