Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Unicode version

Theorem hdmap11 31171
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12d.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12d.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12d.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12d.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap12d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmap11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )

Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12d.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap12d.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
5 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
6 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
7 hdmap12d.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
8 hdmap12d.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 hdmap12d.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 hdmap12d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 31170 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) ) )
1211eqeq1d 2264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( ( S `  X )
( -g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) ) ) )
13 eqid 2256 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
14 eqid 2256 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
151, 2, 8dvhlmod 30430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
163, 4lmodvsubcl 15597 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( -g `  U
) Y )  e.  V )
1715, 9, 10, 16syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  U ) Y )  e.  V )
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 31167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( X
( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
191, 5, 8lcdlmod 30912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod )
20 lmodgrp 15561 . . . . 5  |-  ( ( (LCDual `  K ) `  W )  e.  LMod  -> 
( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
2119, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
22 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 31153 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 31153 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  Y
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
2522, 14, 6grpsubeq0 14479 . . . 4  |-  ( ( ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp  /\  ( S `
 X )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) )  /\  ( S `  Y )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( -g `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ( S `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2712, 18, 263bitr3rd 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
( X ( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
28 lmodgrp 15561 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Grp )
2915, 28syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
303, 13, 4grpsubeq0 14479 . . 3  |-  ( ( U  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3129, 9, 10, 30syl3anc 1187 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3227, 31bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075   0gc0g 13327   Grpcgrp 14289   -gcsg 14292   LModclmod 15554   HLchlt 28670   LHypclh 29303   DVecHcdvh 30398  LCDualclcd 30906  HDMapchdma 31113
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  31188  hgmap11  31225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-ot 3591  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fz 10714  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-0g 13331  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-oppg 14746  df-lsm 14874  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-drng 15441  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-lvec 15783  df-lsatoms 28296  df-lshyp 28297  df-lcv 28339  df-lfl 28378  df-lkr 28406  df-ldual 28444  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-tgrp 30062  df-tendo 30074  df-edring 30076  df-dveca 30322  df-disoa 30349  df-dvech 30399  df-dib 30459  df-dic 30493  df-dih 30549  df-doch 30668  df-djh 30715  df-lcdual 30907  df-mapd 30945  df-hvmap 31077  df-hdmap1 31114  df-hdmap 31115
  Copyright terms: Public domain W3C validator