Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6e Unicode version

Theorem hdmap1l6e 31274
Description: Lemmma for hdmap1l6 31281. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1l6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1l6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1l6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap1l6.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1l6c.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1l6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1l6.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1l6.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1l6.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap1l6.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1l6.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1l6.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1l6.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1l6.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1l6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1l6.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1l6cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1l6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
hdmap1l6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
hdmap1l6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6e  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )

Proof of Theorem hdmap1l6e
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1l6.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1l6.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1l6.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmap1l6.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 hdmap1l6c.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 hdmap1l6.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 hdmap1l6.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hdmap1l6.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
10 hdmap1l6.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
11 hdmap1l6.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
12 hdmap1l6.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap1l6.l . 2  |-  L  =  ( LSpan `  C )
14 hdmap1l6.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
15 hdmap1l6.i . 2  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
16 hdmap1l6.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hdmap1l6.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1l6cl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 hdmap1l6.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
201, 2, 16dvhlmod 30569 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
21 hdmap1l6d.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
22 eldifi 3301 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
2321, 22syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
24 hdmap1l6d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
25 eldifi 3301 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2624, 25syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
273, 4lmodvacl 15637 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
2820, 23, 26, 27syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
291, 2, 16dvhlvec 30568 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
30 eldifi 3301 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
3118, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
32 hdmap1l6d.wn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
333, 7, 29, 23, 31, 26, 32lspindpi 15881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3433simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
353, 4, 6, 7, 20, 23, 26, 34lmodindp1 15767 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =/=  .0.  )
36 eldifsn 3752 . . 3  |-  ( ( w  .+  Y )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( (
w  .+  Y )  e.  V  /\  (
w  .+  Y )  =/=  .0.  ) )
3728, 35, 36sylanbrc 647 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
38 hdmap1l6d.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
39 eldifi 3301 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
4038, 39syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
41 hdmap1l6d.yz . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
42 hdmap1l6d.xn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
433, 7, 29, 31, 26, 40, 42lspindpi 15881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
4443simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
453, 4, 6, 7, 29, 18, 24, 38, 21, 41, 44, 32mapdindp3 31181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
463, 4, 6, 7, 29, 18, 24, 38, 21, 41, 44, 32mapdindp4 31182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
473, 6, 7, 29, 18, 28, 40, 45, 46lspindp1 15882 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
4847simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
49 prcom 3708 . . . . 5  |-  { ( w  .+  Y ) ,  Z }  =  { Z ,  ( w 
.+  Y ) }
5049fveq2i 5490 . . . 4  |-  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )
5150eleq2i 2350 . . 3  |-  ( X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } )  <->  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
5248, 51sylnibr 298 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } ) )
533, 7, 29, 40, 31, 28, 46lspindpi 15881 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
5453simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
5554necomd 2532 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
56 eqidd 2287 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )
)
57 eqidd 2287 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 37, 38, 52, 55, 56, 57hdmap1l6a 31269 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449    \ cdif 3152   {csn 3643   {cpr 3644   <.cotp 3647   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   Basecbs 13144   +g cplusg 13204   0gc0g 13396   -gcsg 14361   LModclmod 15623   LSpanclspn 15724   HLchlt 28809   LHypclh 29442   DVecHcdvh 30537  LCDualclcd 31045  mapdcmpd 31083  HDMap1chdma1 31251
This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  31276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-ot 3653  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-tpos 6197  df-iota 6254  df-undef 6293  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6657  df-map 6771  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-fz 10779  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-0g 13400  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-subg 14614  df-cntz 14789  df-oppg 14815  df-lsm 14943  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-drng 15510  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-lvec 15852  df-lsatoms 28435  df-lshyp 28436  df-lcv 28478  df-lfl 28517  df-lkr 28545  df-ldual 28583  df-oposet 28635  df-ol 28637  df-oml 28638  df-covers 28725  df-ats 28726  df-atl 28757  df-cvlat 28781  df-hlat 28810  df-llines 28956  df-lplanes 28957  df-lvols 28958  df-lines 28959  df-psubsp 28961  df-pmap 28962  df-padd 29254  df-lhyp 29446  df-laut 29447  df-ldil 29562  df-ltrn 29563  df-trl 29617  df-tgrp 30201  df-tendo 30213  df-edring 30215  df-dveca 30461  df-disoa 30488  df-dvech 30538  df-dib 30598  df-dic 30632  df-dih 30688  df-doch 30807  df-djh 30854  df-lcdual 31046  df-mapd 31084  df-hdmap1 31253
  Copyright terms: Public domain W3C validator