Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6e Unicode version

Theorem hdmap1l6e 32074
Description: Lemmma for hdmap1l6 32081. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1l6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1l6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1l6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap1l6.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1l6c.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1l6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1l6.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1l6.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1l6.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap1l6.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1l6.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1l6.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1l6.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1l6.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1l6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1l6.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1l6cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1l6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
hdmap1l6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
hdmap1l6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6e  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )

Proof of Theorem hdmap1l6e
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1l6.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1l6.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1l6.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmap1l6.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 hdmap1l6c.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 hdmap1l6.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 hdmap1l6.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hdmap1l6.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
10 hdmap1l6.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
11 hdmap1l6.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
12 hdmap1l6.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap1l6.l . 2  |-  L  =  ( LSpan `  C )
14 hdmap1l6.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
15 hdmap1l6.i . 2  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
16 hdmap1l6.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hdmap1l6.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1l6cl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 hdmap1l6.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
201, 2, 16dvhlmod 31369 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
21 hdmap1l6d.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
22 eldifi 3374 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
24 hdmap1l6d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
25 eldifi 3374 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
273, 4lmodvacl 15740 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
2820, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
291, 2, 16dvhlvec 31368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
30 eldifi 3374 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
3118, 30syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
32 hdmap1l6d.wn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
333, 7, 29, 23, 31, 26, 32lspindpi 15984 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3433simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
353, 4, 6, 7, 20, 23, 26, 34lmodindp1 15870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =/=  .0.  )
36 eldifsn 3825 . . 3  |-  ( ( w  .+  Y )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( (
w  .+  Y )  e.  V  /\  (
w  .+  Y )  =/=  .0.  ) )
3728, 35, 36sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
38 hdmap1l6d.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
39 eldifi 3374 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
4038, 39syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
41 hdmap1l6d.yz . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
42 hdmap1l6d.xn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
433, 7, 29, 31, 26, 40, 42lspindpi 15984 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
4443simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
453, 4, 6, 7, 29, 18, 24, 38, 21, 41, 44, 32mapdindp3 31981 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
463, 4, 6, 7, 29, 18, 24, 38, 21, 41, 44, 32mapdindp4 31982 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
473, 6, 7, 29, 18, 28, 40, 45, 46lspindp1 15985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
4847simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
49 prcom 3781 . . . . 5  |-  { ( w  .+  Y ) ,  Z }  =  { Z ,  ( w 
.+  Y ) }
5049fveq2i 5611 . . . 4  |-  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )
5150eleq2i 2422 . . 3  |-  ( X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } )  <->  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
5248, 51sylnibr 296 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } ) )
533, 7, 29, 40, 31, 28, 46lspindpi 15984 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
5453simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
5554necomd 2604 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
56 eqidd 2359 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )
)
57 eqidd 2359 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 37, 38, 52, 55, 56, 57hdmap1l6a 32069 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    \ cdif 3225   {csn 3716   {cpr 3717   <.cotp 3720   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   0gc0g 13499   -gcsg 14464   LModclmod 15726   LSpanclspn 15827   HLchlt 29609   LHypclh 30242   DVecHcdvh 31337  LCDualclcd 31845  mapdcmpd 31883  HDMap1chdma1 32051
This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  32076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-fal 1320  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-ot 3726  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-undef 6385  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-p1 14245  df-lat 14251  df-clat 14313  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-oppg 14918  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-dvr 15564  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955  df-lsatoms 29235  df-lshyp 29236  df-lcv 29278  df-lfl 29317  df-lkr 29345  df-ldual 29383  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-llines 29756  df-lplanes 29757  df-lvols 29758  df-lines 29759  df-psubsp 29761  df-pmap 29762  df-padd 30054  df-lhyp 30246  df-laut 30247  df-ldil 30362  df-ltrn 30363  df-trl 30417  df-tgrp 31001  df-tendo 31013  df-edring 31015  df-dveca 31261  df-disoa 31288  df-dvech 31338  df-dib 31398  df-dic 31432  df-dih 31488  df-doch 31607  df-djh 31654  df-lcdual 31846  df-mapd 31884  df-hdmap1 32053
  Copyright terms: Public domain W3C validator