Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6g Unicode version

Theorem hdmap1l6g 31174
Description: Lemmma for hdmap1l6 31179. Part (6) of [Baer] p. 47 line 39. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1l6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1l6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1l6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap1l6.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1l6c.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1l6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1l6.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1l6.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1l6.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap1l6.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1l6.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1l6.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1l6.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1l6.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1l6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1l6.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1l6cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1l6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
hdmap1l6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
hdmap1l6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6g  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )

Proof of Theorem hdmap1l6g
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1l6.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1l6.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1l6.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmap1l6.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 hdmap1l6c.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 hdmap1l6.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 hdmap1l6.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hdmap1l6.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
10 hdmap1l6.a . . 3  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
11 hdmap1l6.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
12 hdmap1l6.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap1l6.l . . 3  |-  L  =  ( LSpan `  C )
14 hdmap1l6.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
15 hdmap1l6.i . . 3  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
16 hdmap1l6.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hdmap1l6.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1l6cl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 hdmap1l6.mn . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
20 hdmap1l6d.xn . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
21 hdmap1l6d.yz . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
22 hdmap1l6d.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
23 hdmap1l6d.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
24 hdmap1l6d.w . . 3  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
25 hdmap1l6d.wn . . 3  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6d 31171 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  ( Y 
.+  Z ) )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
) )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6e 31172 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
281, 2, 16dvhlmod 30467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
29 eldifi 3273 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
3024, 29syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
31 eldifi 3273 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
3222, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
33 eldifi 3273 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
3423, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
353, 4lmodass 15604 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (
w  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
w  .+  Y )  .+  Z )  =  ( w  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
3628, 30, 32, 34, 35syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( w  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( w 
.+  ( Y  .+  Z ) ) )
37 oteq3 3781 . . . . 5  |-  ( ( ( w  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( w  .+  ( Y  .+  Z ) )  ->  <. X ,  F ,  ( (
w  .+  Y )  .+  Z ) >.  =  <. X ,  F ,  ( w  .+  ( Y 
.+  Z ) )
>. )
3836, 37syl 17 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. X ,  F , 
( ( w  .+  Y )  .+  Z
) >.  =  <. X ,  F ,  ( w  .+  ( Y  .+  Z
) ) >. )
3938fveq2d 5462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  ( w  .+  ( Y  .+  Z ) ) >. ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6f 31173 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ) )
4140oveq1d 5807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F , 
( w  .+  Y
) >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
4227, 39, 413eqtr3d 2298 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  ( Y 
.+  Z ) )
>. )  =  (
( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
4326, 42eqtr3d 2292 1  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3124   {csn 3614   {cpr 3615   <.cotp 3618   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13110   +g cplusg 13170   0gc0g 13362   -gcsg 14327   LModclmod 15589   LSpanclspn 15690   HLchlt 28707   LHypclh 29340   DVecHcdvh 30435  LCDualclcd 30943  mapdcmpd 30981  HDMap1chdma1 31149
This theorem is referenced by:  hdmap1l6h  31175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-ot 3624  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-fz 10749  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-0g 13366  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-poset 14042  df-plt 14054  df-lub 14070  df-glb 14071  df-join 14072  df-meet 14073  df-p0 14107  df-p1 14108  df-lat 14114  df-clat 14176  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-grp 14451  df-minusg 14452  df-sbg 14453  df-subg 14580  df-cntz 14755  df-oppg 14781  df-lsm 14909  df-cmn 15053  df-abl 15054  df-mgp 15288  df-ring 15302  df-ur 15304  df-oppr 15367  df-dvdsr 15385  df-unit 15386  df-invr 15416  df-dvr 15427  df-drng 15476  df-lmod 15591  df-lss 15652  df-lsp 15691  df-lvec 15818  df-lsatoms 28333  df-lshyp 28334  df-lcv 28376  df-lfl 28415  df-lkr 28443  df-ldual 28481  df-oposet 28533  df-ol 28535  df-oml 28536  df-covers 28623  df-ats 28624  df-atl 28655  df-cvlat 28679  df-hlat 28708  df-llines 28854  df-lplanes 28855  df-lvols 28856  df-lines 28857  df-psubsp 28859  df-pmap 28860  df-padd 29152  df-lhyp 29344  df-laut 29345  df-ldil 29460  df-ltrn 29461  df-trl 29515  df-tgrp 30099  df-tendo 30111  df-edring 30113  df-dveca 30359  df-disoa 30386  df-dvech 30436  df-dib 30496  df-dic 30530  df-dih 30586  df-doch 30705  df-djh 30752  df-lcdual 30944  df-mapd 30982  df-hdmap1 31151
  Copyright terms: Public domain W3C validator