Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapeq0 Unicode version

Theorem hdmapeq0 32110
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 3. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap12a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap12a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap12a.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12a.x  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapeq0  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
T  =  .0.  )
)

Proof of Theorem hdmapeq0
StepHypRef Expression
1 hdmap12a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap12a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
5 hdmap12a.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
7 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
8 hdmap12a.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
9 hdmap12a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 hdmap12a.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmap10 32106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } ) )
12 hdmap12a.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 hdmap12a.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
141, 7, 2, 12, 5, 13, 9mapd0 31928 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  =  { Q } )
1511, 14eqeq12d 2299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  <->  ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } )  =  { Q } ) )
16 eqid 2285 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
171, 2, 9dvhlmod 31373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
183, 16, 4lspsncl 15736 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  (
( LSpan `  U ) `  { T } )  e.  ( LSubSp `  U
) )
1917, 10, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  { T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
2012, 16lsssn0 15707 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U
) )
2117, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U )
)
221, 2, 16, 7, 9, 19, 21mapd11 31902 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { T } )  =  {  .0.  } ) )
231, 5, 9lcdlmod 31855 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
24 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
251, 2, 3, 5, 24, 8, 9, 10hdmapcl 32096 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  ( Base `  C ) )
2624, 13, 6lspsneq0 15771 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( S `  T )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
( ( LSpan `  C
) `  { ( S `  T ) } )  =  { Q }  <->  ( S `  T )  =  Q ) )
2723, 25, 26syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } )  =  { Q }  <->  ( S `  T )  =  Q ) )
2815, 22, 273bitr3rd 275 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
( ( LSpan `  U
) `  { T } )  =  {  .0.  } ) )
293, 12, 4lspsneq0 15771 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  (
( ( LSpan `  U
) `  { T } )  =  {  .0.  }  <->  T  =  .0.  ) )
3017, 10, 29syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  { T } )  =  {  .0.  }  <->  T  =  .0.  ) )
3128, 30bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
T  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   {csn 3642   ` cfv 5257   Basecbs 13150   0gc0g 13402   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   LSpanclspn 15730   HLchlt 29613   LHypclh 30246   DVecHcdvh 31341  LCDualclcd 31849  mapdcmpd 31887  HDMapchdma 32056
This theorem is referenced by:  hdmapnzcl  32111  hdmapneg  32112  hdmap11  32114  hgmapval0  32158  hgmapval1  32159  hgmapadd  32160  hgmapmul  32161  hgmaprnlem1N  32162  hdmaplkr  32179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-ot 3652  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-undef 6300  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-0g 13406  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-poset 14082  df-plt 14094  df-lub 14110  df-glb 14111  df-join 14112  df-meet 14113  df-p0 14147  df-p1 14148  df-lat 14154  df-clat 14216  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-oppg 14821  df-lsm 14949  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-drng 15516  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-lvec 15858  df-lsatoms 29239  df-lshyp 29240  df-lcv 29282  df-lfl 29321  df-lkr 29349  df-ldual 29387  df-oposet 29439  df-ol 29441  df-oml 29442  df-covers 29529  df-ats 29530  df-atl 29561  df-cvlat 29585  df-hlat 29614  df-llines 29760  df-lplanes 29761  df-lvols 29762  df-lines 29763  df-psubsp 29765  df-pmap 29766  df-padd 30058  df-lhyp 30250  df-laut 30251  df-ldil 30366  df-ltrn 30367  df-trl 30421  df-tgrp 31005  df-tendo 31017  df-edring 31019  df-dveca 31265  df-disoa 31292  df-dvech 31342  df-dib 31402  df-dic 31436  df-dih 31492  df-doch 31611  df-djh 31658  df-lcdual 31850  df-mapd 31888  df-hvmap 32020  df-hdmap1 32057  df-hdmap 32058
  Copyright terms: Public domain W3C validator