Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapeq0 Unicode version

Theorem hdmapeq0 31287
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 3. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap12a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap12a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap12a.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12a.x  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapeq0  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
T  =  .0.  )
)

Proof of Theorem hdmapeq0
StepHypRef Expression
1 hdmap12a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap12a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
5 hdmap12a.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
7 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
8 hdmap12a.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
9 hdmap12a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 hdmap12a.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmap10 31283 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } ) )
12 hdmap12a.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 hdmap12a.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
141, 7, 2, 12, 5, 13, 9mapd0 31105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  =  { Q } )
1511, 14eqeq12d 2272 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  <->  ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } )  =  { Q } ) )
16 eqid 2258 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
171, 2, 9dvhlmod 30550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
183, 16, 4lspsncl 15697 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  (
( LSpan `  U ) `  { T } )  e.  ( LSubSp `  U
) )
1917, 10, 18syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  { T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
2012, 16lsssn0 15668 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U
) )
2117, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U )
)
221, 2, 16, 7, 9, 19, 21mapd11 31079 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { T } )  =  {  .0.  } ) )
231, 5, 9lcdlmod 31032 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
24 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
251, 2, 3, 5, 24, 8, 9, 10hdmapcl 31273 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  ( Base `  C ) )
2624, 13, 6lspsneq0 15732 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( S `  T )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
( ( LSpan `  C
) `  { ( S `  T ) } )  =  { Q }  <->  ( S `  T )  =  Q ) )
2723, 25, 26syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } )  =  { Q }  <->  ( S `  T )  =  Q ) )
2815, 22, 273bitr3rd 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
( ( LSpan `  U
) `  { T } )  =  {  .0.  } ) )
293, 12, 4lspsneq0 15732 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  (
( ( LSpan `  U
) `  { T } )  =  {  .0.  }  <->  T  =  .0.  ) )
3017, 10, 29syl2anc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  { T } )  =  {  .0.  }  <->  T  =  .0.  ) )
3128, 30bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
T  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {csn 3614   ` cfv 4673   Basecbs 13111   0gc0g 13363   LModclmod 15590   LSubSpclss 15652   LSpanclspn 15691   HLchlt 28790   LHypclh 29423   DVecHcdvh 30518  LCDualclcd 31026  mapdcmpd 31064  HDMapchdma 31233
This theorem is referenced by:  hdmapnzcl  31288  hdmapneg  31289  hdmap11  31291  hgmapval0  31335  hgmapval1  31336  hgmapadd  31337  hgmapmul  31338  hgmaprnlem1N  31339  hdmaplkr  31356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-ot 3624  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-fz 10750  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-0g 13367  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-subg 14581  df-cntz 14756  df-oppg 14782  df-lsm 14910  df-cmn 15054  df-abl 15055  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-ur 15305  df-oppr 15368  df-dvdsr 15386  df-unit 15387  df-invr 15417  df-dvr 15428  df-drng 15477  df-lmod 15592  df-lss 15653  df-lsp 15692  df-lvec 15819  df-lsatoms 28416  df-lshyp 28417  df-lcv 28459  df-lfl 28498  df-lkr 28526  df-ldual 28564  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-llines 28937  df-lplanes 28938  df-lvols 28939  df-lines 28940  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427  df-laut 29428  df-ldil 29543  df-ltrn 29544  df-trl 29598  df-tgrp 30182  df-tendo 30194  df-edring 30196  df-dveca 30442  df-disoa 30469  df-dvech 30519  df-dib 30579  df-dic 30613  df-dih 30669  df-doch 30788  df-djh 30835  df-lcdual 31027  df-mapd 31065  df-hvmap 31197  df-hdmap1 31234  df-hdmap 31235
  Copyright terms: Public domain W3C validator