Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapf1oN Unicode version

Theorem hdmapf1oN 31325
Description: Part 12 in [Baer] p. 49. The map from vectors to functionals with closed kernels maps one-to-one onto. Combined with hdmapadd 31303, this shows the map is an automorphism from the additive group of vectors to the additive group of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapf1o.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapf1o.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapf1o.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapf1o.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapf1oN  |-  ( ph  ->  S : V -1-1-onto-> D )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem hdmapf1oN
StepHypRef Expression
1 hdmapf1o.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapf1o.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapf1o.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmapf1o.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hdmapf1o.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5hdmapfnN 31289 . 2  |-  ( ph  ->  S  Fn  V )
7 hdmapf1o.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmapf1o.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
91, 7, 8, 4, 5hdmaprnN 31324 . 2  |-  ( ph  ->  ran  S  =  D )
105adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 simprl 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
12 simprr 735 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
131, 2, 3, 4, 10, 11, 12hdmap11 31308 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( S `  x )  =  ( S `  y )  <-> 
x  =  y ) )
1413biimpd 200 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) )
1514ralrimivva 2636 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) )
16 dff1o6 5752 . 2  |-  ( S : V -1-1-onto-> D  <->  ( S  Fn  V  /\  ran  S  =  D  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) ) )
176, 9, 15, 16syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  S : V -1-1-onto-> D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   ran crn 4689    Fn wfn 5216   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221   Basecbs 13142   HLchlt 28807   LHypclh 29440   DVecHcdvh 30535  LCDualclcd 31043  HDMapchdma 31250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-ot 3651  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-0g 13398  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-subg 14612  df-cntz 14787  df-oppg 14813  df-lsm 14941  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-drng 15508  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-lvec 15850  df-lsatoms 28433  df-lshyp 28434  df-lcv 28476  df-lfl 28515  df-lkr 28543  df-ldual 28581  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444  df-laut 29445  df-ldil 29560  df-ltrn 29561  df-trl 29615  df-tgrp 30199  df-tendo 30211  df-edring 30213  df-dveca 30459  df-disoa 30486  df-dvech 30536  df-dib 30596  df-dic 30630  df-dih 30686  df-doch 30805  df-djh 30852  df-lcdual 31044  df-mapd 31082  df-hvmap 31214  df-hdmap1 31251  df-hdmap 31252
  Copyright terms: Public domain W3C validator