Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Unicode version

Theorem hdmapglem5 31382
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapglem5.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapglem5.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapglem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapglem5.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapglem5.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapglem5.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmapglem5.q  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapglem5.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapglem5.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapglem5.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapglem5.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapglem5.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapglem5.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.i  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
hdmapglem5.j  |-  ( ph  ->  J  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapglem5.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapglem5.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 30567 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 hdmapglem5.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
65lmodrng 15629 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
74, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 hdmapglem5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 hdmapglem5.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
10 hdmapglem5.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 hdmapglem5.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 30569 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
17 eldifi 3299 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  ->  E  e.  V
)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
1918snssd 3761 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
20 hdmapglem5.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
211, 2, 10, 20dochssv 30812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
223, 19, 21syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
23 hdmapglem5.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
2422, 23sseldd 3182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
25 hdmapglem5.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
2622, 25sseldd 3182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
271, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 24, 26hdmapipcl 31365 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  D ) `  C
)  e.  B )
281, 2, 5, 8, 9, 3, 27hgmapcl 31349 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  e.  B )
29 hdmapglem5.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
30 eqid 2284 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
318, 29, 30rnglidm 15358 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )  =  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
) )
327, 28, 31syl2anc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )
33 hdmapglem5.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
34 hdmapglem5.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
35 hdmapglem5.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
36 hdmapglem5.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
378, 30rngidcl 15355 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
387, 37syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
391, 2, 5, 30, 9, 3hgmapval1 31353 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R ) )
4039oveq2d 5835 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( S `  D ) `
 C )  .X.  ( 1r `  R ) ) )
418, 29, 30rngridm 15359 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  D
) `  C )  e.  B )  ->  (
( ( S `  D ) `  C
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `  D ) `  C
) )
427, 27, 41syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
4340, 42eqtrd 2316 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
441, 15, 20, 2, 10, 33, 34, 35, 5, 8, 29, 36, 11, 9, 3, 23, 25, 27, 38, 43hdmapinvlem4 31381 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( ( S `
 C ) `  D ) )
4532, 44eqtr3d 2318 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688    \ cdif 3150    C_ wss 3153   {csn 3641   <.cop 3644    _I cid 4303    |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Basecbs 13142   +g cplusg 13202   .rcmulr 13203  Scalarcsca 13205   .scvsca 13206   0gc0g 13394   -gcsg 14359   Ringcrg 15331   1rcur 15333   LModclmod 15621   HLchlt 28807   LHypclh 29440   LTrncltrn 29557   DVecHcdvh 30535   ocHcoch 30804  HDMapchdma 31250  HGMapchg 31343
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  31383  hdmapglem7  31389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-ot 3651  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-0g 13398  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-subg 14612  df-cntz 14787  df-oppg 14813  df-lsm 14941  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-drng 15508  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-lvec 15850  df-lsatoms 28433  df-lshyp 28434  df-lcv 28476  df-lfl 28515  df-lkr 28543  df-ldual 28581  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444  df-laut 29445  df-ldil 29560  df-ltrn 29561  df-trl 29615  df-tgrp 30199  df-tendo 30211  df-edring 30213  df-dveca 30459  df-disoa 30486  df-dvech 30536  df-dib 30596  df-dic 30630  df-dih 30686  df-doch 30805  df-djh 30852  df-lcdual 31044  df-mapd 31082  df-hvmap 31214  df-hdmap1 31251  df-hdmap 31252  df-hgmap 31344
  Copyright terms: Public domain W3C validator