Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Unicode version

Theorem hdmapglem5 32420
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapglem5.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapglem5.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapglem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapglem5.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapglem5.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapglem5.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmapglem5.q  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapglem5.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapglem5.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapglem5.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapglem5.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapglem5.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapglem5.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.i  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
hdmapglem5.j  |-  ( ph  ->  J  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapglem5.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapglem5.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 31605 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 hdmapglem5.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
65lmodrng 15921 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 hdmapglem5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 hdmapglem5.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
10 hdmapglem5.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 hdmapglem5.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 31607 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
1716eldifad 3300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
1817snssd 3911 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
201, 2, 10, 19dochssv 31850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
213, 18, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
2321, 22sseldd 3317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
24 hdmapglem5.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
2521, 24sseldd 3317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 32403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  D ) `  C
)  e.  B )
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 32387 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  e.  B )
28 hdmapglem5.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
29 eqid 2412 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
308, 28, 29rnglidm 15650 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )  =  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
) )
317, 27, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )
32 hdmapglem5.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
33 hdmapglem5.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
34 hdmapglem5.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
35 hdmapglem5.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
368, 29rngidcl 15647 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
377, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 32391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R ) )
3938oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( S `  D ) `
 C )  .X.  ( 1r `  R ) ) )
408, 28, 29rngridm 15651 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  D
) `  C )  e.  B )  ->  (
( ( S `  D ) `  C
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `  D ) `  C
) )
417, 26, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
4239, 41eqtrd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 32419 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( ( S `
 C ) `  D ) )
4431, 43eqtr3d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   {csn 3782   <.cop 3785    _I cid 4461    |` cres 4847   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   .rcmulr 13493  Scalarcsca 13495   .scvsca 13496   0gc0g 13686   -gcsg 14651   Ringcrg 15623   1rcur 15625   LModclmod 15913   HLchlt 29845   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   DVecHcdvh 31573   ocHcoch 31842  HDMapchdma 32288  HGMapchg 32381
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  32421  hdmapglem7  32427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-ot 3792  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-undef 6510  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-0g 13690  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-cntz 15079  df-oppg 15105  df-lsm 15233  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-dvr 15751  df-drng 15800  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-lvec 16138  df-lsatoms 29471  df-lshyp 29472  df-lcv 29514  df-lfl 29553  df-lkr 29581  df-ldual 29619  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994  df-lines 29995  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653  df-tgrp 31237  df-tendo 31249  df-edring 31251  df-dveca 31497  df-disoa 31524  df-dvech 31574  df-dib 31634  df-dic 31668  df-dih 31724  df-doch 31843  df-djh 31890  df-lcdual 32082  df-mapd 32120  df-hvmap 32252  df-hdmap1 32289  df-hdmap 32290  df-hgmap 32382
  Copyright terms: Public domain W3C validator