Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Unicode version

Theorem hdmapglem5 32042
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapglem5.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapglem5.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapglem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapglem5.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapglem5.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapglem5.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmapglem5.q  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapglem5.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapglem5.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapglem5.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapglem5.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapglem5.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapglem5.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.i  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
hdmapglem5.j  |-  ( ph  ->  J  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapglem5.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapglem5.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 31227 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 hdmapglem5.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
65lmodrng 15887 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 hdmapglem5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 hdmapglem5.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
10 hdmapglem5.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 hdmapglem5.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 31229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
1716eldifad 3277 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
1817snssd 3888 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
201, 2, 10, 19dochssv 31472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
213, 18, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
2321, 22sseldd 3294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
24 hdmapglem5.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
2521, 24sseldd 3294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 32025 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  D ) `  C
)  e.  B )
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 32009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  e.  B )
28 hdmapglem5.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
29 eqid 2389 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
308, 28, 29rnglidm 15616 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )  =  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
) )
317, 27, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )
32 hdmapglem5.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
33 hdmapglem5.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
34 hdmapglem5.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
35 hdmapglem5.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
368, 29rngidcl 15613 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
377, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 32013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R ) )
3938oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( S `  D ) `
 C )  .X.  ( 1r `  R ) ) )
408, 28, 29rngridm 15617 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  D
) `  C )  e.  B )  ->  (
( ( S `  D ) `  C
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `  D ) `  C
) )
417, 26, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
4239, 41eqtrd 2421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 32041 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( ( S `
 C ) `  D ) )
4431, 43eqtr3d 2423 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   {csn 3759   <.cop 3762    _I cid 4436    |` cres 4822   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   .rcmulr 13459  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462   0gc0g 13652   -gcsg 14617   Ringcrg 15589   1rcur 15591   LModclmod 15879   HLchlt 29467   LHypclh 30100   LTrncltrn 30217   DVecHcdvh 31195   ocHcoch 31464  HDMapchdma 31910  HGMapchg 32003
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  32043  hdmapglem7  32049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-ot 3769  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-undef 6481  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-0g 13656  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-oppg 15071  df-lsm 15199  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-dvr 15717  df-drng 15766  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lvec 16104  df-lsatoms 29093  df-lshyp 29094  df-lcv 29136  df-lfl 29175  df-lkr 29203  df-ldual 29241  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616  df-lines 29617  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-padd 29912  df-lhyp 30104  df-laut 30105  df-ldil 30220  df-ltrn 30221  df-trl 30275  df-tgrp 30859  df-tendo 30871  df-edring 30873  df-dveca 31119  df-disoa 31146  df-dvech 31196  df-dib 31256  df-dic 31290  df-dih 31346  df-doch 31465  df-djh 31512  df-lcdual 31704  df-mapd 31742  df-hvmap 31874  df-hdmap1 31911  df-hdmap 31912  df-hgmap 32004
  Copyright terms: Public domain W3C validator