Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Unicode version

Theorem hdmapglem5 32737
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapglem5.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapglem5.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapglem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapglem5.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapglem5.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapglem5.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmapglem5.q  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapglem5.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapglem5.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapglem5.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapglem5.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapglem5.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapglem5.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.i  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
hdmapglem5.j  |-  ( ph  ->  J  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapglem5.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapglem5.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 31922 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 hdmapglem5.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
65lmodrng 15651 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
74, 6syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 hdmapglem5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 hdmapglem5.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
10 hdmapglem5.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 hdmapglem5.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 31924 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
17 eldifi 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  ->  E  e.  V
)
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
1918snssd 3776 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
20 hdmapglem5.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
211, 2, 10, 20dochssv 32167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
223, 19, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
23 hdmapglem5.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
2422, 23sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
25 hdmapglem5.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
2622, 25sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
271, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 24, 26hdmapipcl 32720 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  D ) `  C
)  e.  B )
281, 2, 5, 8, 9, 3, 27hgmapcl 32704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  e.  B )
29 hdmapglem5.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
30 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
318, 29, 30rnglidm 15380 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )  =  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
) )
327, 28, 31syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )
33 hdmapglem5.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
34 hdmapglem5.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
35 hdmapglem5.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
36 hdmapglem5.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
378, 30rngidcl 15377 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
387, 37syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
391, 2, 5, 30, 9, 3hgmapval1 32708 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R ) )
4039oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( S `  D ) `
 C )  .X.  ( 1r `  R ) ) )
418, 29, 30rngridm 15381 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  D
) `  C )  e.  B )  ->  (
( ( S `  D ) `  C
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `  D ) `  C
) )
427, 27, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
4340, 42eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
441, 15, 20, 2, 10, 33, 34, 35, 5, 8, 29, 36, 11, 9, 3, 23, 25, 27, 38, 43hdmapinvlem4 32736 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( ( S `
 C ) `  D ) )
4532, 44eqtr3d 2330 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656    _I cid 4320    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   -gcsg 14381   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   DVecHcdvh 31890   ocHcoch 32159  HDMapchdma 32605  HGMapchg 32698
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  32738  hdmapglem7  32744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lshyp 29789  df-lcv 29831  df-lfl 29870  df-lkr 29898  df-ldual 29936  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dveca 31814  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160  df-djh 32207  df-lcdual 32399  df-mapd 32437  df-hvmap 32569  df-hdmap1 32606  df-hdmap 32607  df-hgmap 32699
  Copyright terms: Public domain W3C validator