Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapinvlem1 Unicode version

Theorem hdmapinvlem1 32450
Description: Line 27 in [Baer] p. 110. We use  C for Baer's u. Our unit vector  E has the required properties for his w by hdmapevec2 32368. Our  ( ( S `  E ) `  C ) means the inner product  <. C ,  E >. i.e. his f(u,w) (note argument reversal). (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapinvlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapinvlem1.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapinvlem1.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapinvlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapinvlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapinvlem1.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapinvlem1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapinvlem1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
hdmapinvlem1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapinvlem1.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapinvlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapinvlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
Assertion
Ref Expression
hdmapinvlem1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  C
)  =  .0.  )

Proof of Theorem hdmapinvlem1
StepHypRef Expression
1 hdmapinvlem1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
2 hdmapinvlem1.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hdmapinvlem1.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 hdmapinvlem1.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapinvlem1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 eqid 2430 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
7 eqid 2430 . . . 4  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
8 hdmapinvlem1.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
9 hdmapinvlem1.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 eqid 2430 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 eqid 2430 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
12 eqid 2430 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
13 hdmapinvlem1.e . . . . . 6  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
142, 10, 11, 4, 5, 12, 13, 9dvheveccl 31641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
1514eldifad 3319 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15hdmaplkr 32445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (LKer `  U
) `  ( S `  E ) )  =  ( O `  { E } ) )
171, 16eleqtrrd 2507 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (LKer `  U ) `  ( S `  E )
) )
18 hdmapinvlem1.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
19 hdmapinvlem1.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
202, 4, 9dvhlmod 31639 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
21 eqid 2430 . . . 4  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
22 eqid 2430 . . . 4  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
232, 4, 5, 21, 22, 8, 9, 15hdmapcl 32362 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
242, 21, 22, 4, 6, 9, 23lcdvbaselfl 32124 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  e.  (LFnl `  U ) )
2515snssd 3930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
262, 4, 5, 3dochssv 31884 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
279, 25, 26syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
2827, 1sseldd 3336 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
295, 18, 19, 6, 7, 20, 24, 28ellkr2 29620 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( (LKer `  U ) `  ( S `  E
) )  <->  ( ( S `  E ) `  C )  =  .0.  ) )
3017, 29mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  C
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3307   {csn 3801   <.cop 3804    _I cid 4480    |` cres 4866   ` cfv 5440   Basecbs 13452   .rcmulr 13513  Scalarcsca 13515   0gc0g 13706   LModclmod 15933  LFnlclfn 29586  LKerclk 29614   HLchlt 29879   LHypclh 30512   LTrncltrn 30629   DVecHcdvh 31607   ocHcoch 31876  LCDualclcd 32115  HDMapchdma 32322
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem2  32451  hdmapinvlem3  32452  hdmapinvlem4  32453  hdmapglem7b  32460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-ot 3811  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-undef 6529  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-fz 11028  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-0g 13710  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-p1 14452  df-lat 14458  df-clat 14520  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-subg 14924  df-cntz 15099  df-oppg 15125  df-lsm 15253  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-dvr 15771  df-drng 15820  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-lvec 16158  df-lsatoms 29505  df-lshyp 29506  df-lcv 29548  df-lfl 29587  df-lkr 29615  df-ldual 29653  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-llines 30026  df-lplanes 30027  df-lvols 30028  df-lines 30029  df-psubsp 30031  df-pmap 30032  df-padd 30324  df-lhyp 30516  df-laut 30517  df-ldil 30632  df-ltrn 30633  df-trl 30687  df-tgrp 31271  df-tendo 31283  df-edring 31285  df-dveca 31531  df-disoa 31558  df-dvech 31608  df-dib 31668  df-dic 31702  df-dih 31758  df-doch 31877  df-djh 31924  df-lcdual 32116  df-mapd 32154  df-hvmap 32286  df-hdmap1 32323  df-hdmap 32324
  Copyright terms: Public domain W3C validator