Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapinvlem2 Unicode version

Theorem hdmapinvlem2 31016
Description: Line 28 in [Baer] p. 110, 0 = f(w,u). (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapinvlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapinvlem1.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapinvlem1.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapinvlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapinvlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapinvlem1.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapinvlem1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapinvlem1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
hdmapinvlem1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapinvlem1.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapinvlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapinvlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
Assertion
Ref Expression
hdmapinvlem2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  C ) `  E
)  =  .0.  )

Proof of Theorem hdmapinvlem2
StepHypRef Expression
1 hdmapinvlem1.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapinvlem1.e . . 3  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapinvlem1.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 hdmapinvlem1.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapinvlem1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 hdmapinvlem1.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
7 hdmapinvlem1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 hdmapinvlem1.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
9 hdmapinvlem1.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
10 hdmapinvlem1.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hdmapinvlem1.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 hdmapinvlem1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hdmapinvlem1 31015 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  C
)  =  .0.  )
14 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
15 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
16 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
171, 14, 15, 4, 5, 16, 2, 11dvheveccl 30206 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
18 eldifi 3215 . . . 4  |-  ( E  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  ->  E  e.  V
)
1917, 18syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
2019snssd 3660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
211, 4, 5, 3dochssv 30449 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
2211, 20, 21syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
2322, 12sseldd 3104 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
241, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 19, 23hdmapip0com 31014 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 E ) `  C )  =  .0.  <->  ( ( S `  C
) `  E )  =  .0.  ) )
2513, 24mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  C ) `  E
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3075    C_ wss 3078   {csn 3544   <.cop 3547    _I cid 4197    |` cres 4582   ` cfv 4592   Basecbs 13022   .rcmulr 13083  Scalarcsca 13085   0gc0g 13274   HLchlt 28444   LHypclh 29077   LTrncltrn 29194   DVecHcdvh 30172   ocHcoch 30441  HDMapchdma 30887
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  31017  hdmapinvlem4  31018  hdmapglem7b  31025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-ot 3554  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 28070  df-lshyp 28071  df-lcv 28113  df-lfl 28152  df-lkr 28180  df-ldual 28218  df-oposet 28270  df-ol 28272  df-oml 28273  df-covers 28360  df-ats 28361  df-atl 28392  df-cvlat 28416  df-hlat 28445  df-llines 28591  df-lplanes 28592  df-lvols 28593  df-lines 28594  df-psubsp 28596  df-pmap 28597  df-padd 28889  df-lhyp 29081  df-laut 29082  df-ldil 29197  df-ltrn 29198  df-trl 29252  df-tgrp 29836  df-tendo 29848  df-edring 29850  df-dveca 30096  df-disoa 30123  df-dvech 30173  df-dib 30233  df-dic 30267  df-dih 30323  df-doch 30442  df-djh 30489  df-lcdual 30681  df-mapd 30719  df-hvmap 30851  df-hdmap1 30888  df-hdmap 30889
  Copyright terms: Public domain W3C validator