Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapip0com Unicode version

Theorem hdmapip0com 31261
Description: Commutation property of Baer's sigma map (Holland's A map). Line 20 of [Holland95] p. 14. Also part of Lemma 1 of [Baer] p. 110 line 7. (Contributed by NM, 9-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapip0com.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapip0com.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapip0com.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapip0com.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapip0com.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapip0com.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapip0com.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapip0com.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapip0com.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapip0com  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) `  Y )  =  .0.  <->  ( ( S `  Y
) `  X )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem hdmapip0com
StepHypRef Expression
1 hdmapip0com.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2256 . . 3  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 hdmapip0com.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hdmapip0com.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 hdmapip0com.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 hdmapip0com.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 hdmapip0com.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dochsncom 30723 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  { X } )  <-> 
X  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  { Y } ) ) )
9 hdmapip0com.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
10 hdmapip0com.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
11 hdmapip0com.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
121, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 5, 7, 6hdmapellkr 31258 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) `  Y )  =  .0.  <->  Y  e.  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  { X } ) ) )
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 5, 6, 7hdmapellkr 31258 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 Y ) `  X )  =  .0.  <->  X  e.  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  { Y } ) ) )
148, 12, 133bitr4d 278 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) `  Y )  =  .0.  <->  ( ( S `  Y
) `  X )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {csn 3600   ` cfv 4659   Basecbs 13096  Scalarcsca 13159   0gc0g 13348   HLchlt 28691   LHypclh 29324   DVecHcdvh 30419   ocHcoch 30688  HDMapchdma 31134
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem2  31263  hdmapinvlem4  31265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-ot 3610  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-undef 6250  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-fz 10735  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-0g 13352  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-poset 14028  df-plt 14040  df-lub 14056  df-glb 14057  df-join 14058  df-meet 14059  df-p0 14093  df-p1 14094  df-lat 14100  df-clat 14162  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-subg 14566  df-cntz 14741  df-oppg 14767  df-lsm 14895  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-dvr 15413  df-drng 15462  df-lmod 15577  df-lss 15638  df-lsp 15677  df-lvec 15804  df-lsatoms 28317  df-lshyp 28318  df-lcv 28360  df-lfl 28399  df-lkr 28427  df-ldual 28465  df-oposet 28517  df-ol 28519  df-oml 28520  df-covers 28607  df-ats 28608  df-atl 28639  df-cvlat 28663  df-hlat 28692  df-llines 28838  df-lplanes 28839  df-lvols 28840  df-lines 28841  df-psubsp 28843  df-pmap 28844  df-padd 29136  df-lhyp 29328  df-laut 29329  df-ldil 29444  df-ltrn 29445  df-trl 29499  df-tgrp 30083  df-tendo 30095  df-edring 30097  df-dveca 30343  df-disoa 30370  df-dvech 30420  df-dib 30480  df-dic 30514  df-dih 30570  df-doch 30689  df-djh 30736  df-lcdual 30928  df-mapd 30966  df-hvmap 31098  df-hdmap1 31135  df-hdmap 31136
  Copyright terms: Public domain W3C validator