Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaplkr Unicode version

Theorem hdmaplkr 32553
 Description: Kernel of the vector to dual map. Line 16 in [Holland95] p. 14. TODO: eliminate hypothesis. (Contributed by NM, 9-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaplkr.h
hdmaplkr.o
hdmaplkr.u
hdmaplkr.v
hdmaplkr.f LFnl
hdmaplkr.y LKer
hdmaplkr.s HDMap
hdmaplkr.k
hdmaplkr.x
Assertion
Ref Expression
hdmaplkr

Proof of Theorem hdmaplkr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5719 . . . . 5
21fveq2d 5723 . . . 4
3 sneq 3817 . . . . 5
43fveq2d 5723 . . . 4
52, 4sseq12d 3369 . . 3
6 hdmaplkr.h . . . . . . . . . 10
7 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 LCDual LCDual
8 hdmaplkr.k . . . . . . . . . 10
96, 7, 8lcdlmod 32229 . . . . . . . . 9 LCDual
10 hdmaplkr.u . . . . . . . . . 10
11 hdmaplkr.v . . . . . . . . . 10
12 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 LCDual LCDual
13 hdmaplkr.s . . . . . . . . . 10 HDMap
14 hdmaplkr.x . . . . . . . . . 10
156, 10, 11, 7, 12, 13, 8, 14hdmapcl 32470 . . . . . . . . 9 LCDual
16 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 LCDual LCDual
1712, 16lspsnid 16057 . . . . . . . . 9 LCDual LCDual LCDual
189, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8 LCDual
19 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
20 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 mapd mapd
216, 10, 11, 19, 7, 16, 20, 13, 8, 14hdmap10 32480 . . . . . . . . 9 mapd LCDual
22 hdmaplkr.o . . . . . . . . . 10
23 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 LFnl LFnl
24 hdmaplkr.y . . . . . . . . . 10 LKer
256, 22, 20, 10, 11, 19, 23, 24, 8, 14mapdsn 32278 . . . . . . . . 9 mapd LFnl
2621, 25eqtr3d 2469 . . . . . . . 8 LCDual LFnl
2718, 26eleqtrd 2511 . . . . . . 7 LFnl
286, 7, 12, 10, 23, 8, 15lcdvbaselfl 32232 . . . . . . . 8 LFnl
29 fveq2 5719 . . . . . . . . . 10
3029sseq2d 3368 . . . . . . . . 9
3130elrab3 3085 . . . . . . . 8 LFnl LFnl
3228, 31syl 16 . . . . . . 7 LFnl
3327, 32mpbid 202 . . . . . 6
3433adantr 452 . . . . 5
35 eqid 2435 . . . . . 6 LSHyp LSHyp
366, 10, 8dvhlvec 31746 . . . . . . 7
3736adantr 452 . . . . . 6
38 eqid 2435 . . . . . . 7
398adantr 452 . . . . . . 7
4014anim1i 552 . . . . . . . 8
41 eldifsn 3919 . . . . . . . 8
4240, 41sylibr 204 . . . . . . 7
436, 22, 10, 11, 38, 35, 39, 42dochsnshp 32090 . . . . . 6 LSHyp
4428adantr 452 . . . . . . 7 LFnl
45 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
46 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
47 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 LCDual LCDual
486, 10, 11, 45, 46, 7, 47, 8lcd0v 32248 . . . . . . . . . . 11 LCDual Scalar
4948eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10 LCDual Scalar
506, 10, 11, 38, 7, 47, 13, 8, 14hdmapeq0 32484 . . . . . . . . . 10 LCDual
5149, 50bitr3d 247 . . . . . . . . 9 Scalar
5251necon3bid 2633 . . . . . . . 8 Scalar
5352biimpar 472 . . . . . . 7 Scalar
5411, 45, 46, 35, 23, 24lkrshp 29742 . . . . . . 7 LFnl Scalar LSHyp
5537, 44, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . 6 LSHyp
5635, 37, 43, 55lshpcmp 29625 . . . . 5
5734, 56mpbid 202 . . . 4
58 eqimss2 3393 . . . 4
5957, 58syl 16 . . 3
606, 10, 8dvhlmod 31747 . . . . 5
6111, 38lmod0vcl 15967 . . . . . . . 8
6260, 61syl 16 . . . . . . 7
636, 10, 11, 7, 12, 13, 8, 62hdmapcl 32470 . . . . . 6 LCDual
646, 7, 12, 10, 23, 8, 63lcdvbaselfl 32232 . . . . 5 LFnl
6511, 23, 24, 60, 64lkrssv 29733 . . . 4
666, 10, 22, 11, 38doch0 31995 . . . . 5
678, 66syl 16 . . . 4
6865, 67sseqtr4d 3377 . . 3
695, 59, 68pm2.61ne 2673 . 2
7069, 33eqssd 3357 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  crab 2701   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   cxp 4867  cfv 5445  cbs 13457  Scalarcsca 13520  c0g 13711  clmod 15938  clspn 16035  clvec 16162  LSHypclsh 29612  LFnlclfn 29694  LKerclk 29722  chlt 29987  clh 30620  cdvh 31715  coch 31984  LCDualclcd 32223  mapdcmpd 32261  HDMapchdma 32430 This theorem is referenced by:  hdmapellkr  32554  hdmapip0  32555  hdmapinvlem1  32558 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-undef 6534  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-0g 13715  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-subg 14929  df-cntz 15104  df-oppg 15130  df-lsm 15258  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-drng 15825  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lvec 16163  df-lsatoms 29613  df-lshyp 29614  df-lcv 29656  df-lfl 29695  df-lkr 29723  df-ldual 29761  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-lplanes 30135  df-lvols 30136  df-lines 30137  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795  df-tgrp 31379  df-tendo 31391  df-edring 31393  df-dveca 31639  df-disoa 31666  df-dvech 31716  df-dib 31776  df-dic 31810  df-dih 31866  df-doch 31985  df-djh 32032  df-lcdual 32224  df-mapd 32262  df-hvmap 32394  df-hdmap1 32431  df-hdmap 32432
 Copyright terms: Public domain W3C validator