Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapneg Unicode version

Theorem hdmapneg 30728
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12b.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12b.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12b.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12b.m  |-  M  =  ( inv g `  U )
hdmap12b.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap12b.i  |-  I  =  ( inv g `  C )
hdmap12b.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12b.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12b.x  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapneg  |-  ( ph  ->  ( S `  ( M `  T )
)  =  ( I `
 ( S `  T ) ) )

Proof of Theorem hdmapneg
StepHypRef Expression
1 hdmap12b.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12b.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 hdmap12b.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 30471 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 hdmap12b.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 hdmap12b.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
8 hdmap12b.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
9 hdmap12b.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
101, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9hdmapcl 30712 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  ( Base `  C ) )
11 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
12 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap12b.i . . . . 5  |-  I  =  ( inv g `  C )
147, 11, 12, 13lmodvnegid 15501 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( S `  T )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
( S `  T
) ( +g  `  C
) ( I `  ( S `  T ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
154, 10, 14syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T ) ( +g  `  C ) ( I `
 ( S `  T ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
161, 5, 3dvhlmod 29989 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
17 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
18 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
19 hdmap12b.m . . . . . 6  |-  M  =  ( inv g `  U )
206, 17, 18, 19lmodvnegid 15501 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  ( T ( +g  `  U
) ( M `  T ) )  =  ( 0g `  U
) )
2116, 9, 20syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T ( +g  `  U ) ( M `
 T ) )  =  ( 0g `  U ) )
226, 19lmodvnegcl 15500 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  ( M `  T )  e.  V )
2316, 9, 22syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  T
)  e.  V )
246, 17lmodvacl 15476 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V  /\  ( M `  T )  e.  V )  ->  ( T ( +g  `  U
) ( M `  T ) )  e.  V )
2516, 9, 23, 24syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T ( +g  `  U ) ( M `
 T ) )  e.  V )
261, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25hdmapeq0 30726 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( T ( +g  `  U
) ( M `  T ) ) )  =  ( 0g `  C )  <->  ( T
( +g  `  U ) ( M `  T
) )  =  ( 0g `  U ) ) )
2721, 26mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( T ( +g  `  U
) ( M `  T ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
281, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23hdmapadd 30725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( T ( +g  `  U
) ( M `  T ) ) )  =  ( ( S `
 T ) ( +g  `  C ) ( S `  ( M `  T )
) ) )
2915, 27, 283eqtr2rd 2292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T ) ( +g  `  C ) ( S `
 ( M `  T ) ) )  =  ( ( S `
 T ) ( +g  `  C ) ( I `  ( S `  T )
) ) )
301, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23hdmapcl 30712 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( M `  T )
)  e.  ( Base `  C ) )
317, 13lmodvnegcl 15500 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( S `  T )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
I `  ( S `  T ) )  e.  ( Base `  C
) )
324, 10, 31syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( S `  T )
)  e.  ( Base `  C ) )
337, 11lmodlcan 15478 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
( S `  ( M `  T )
)  e.  ( Base `  C )  /\  (
I `  ( S `  T ) )  e.  ( Base `  C
)  /\  ( S `  T )  e.  (
Base `  C )
) )  ->  (
( ( S `  T ) ( +g  `  C ) ( S `
 ( M `  T ) ) )  =  ( ( S `
 T ) ( +g  `  C ) ( I `  ( S `  T )
) )  <->  ( S `  ( M `  T
) )  =  ( I `  ( S `
 T ) ) ) )
344, 30, 32, 10, 33syl13anc 1189 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 T ) ( +g  `  C ) ( S `  ( M `  T )
) )  =  ( ( S `  T
) ( +g  `  C
) ( I `  ( S `  T ) ) )  <->  ( S `  ( M `  T
) )  =  ( I `  ( S `
 T ) ) ) )
3529, 34mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( S `  ( M `  T )
)  =  ( I `
 ( S `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   +g cplusg 13082   0gc0g 13274   inv gcminusg 14198   LModclmod 15462   HLchlt 28229   LHypclh 28862   DVecHcdvh 29957  LCDualclcd 30465  HDMapchdma 30672
This theorem is referenced by:  hdmapsub  30729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-ot 3554  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 27855  df-lshyp 27856  df-lcv 27898  df-lfl 27937  df-lkr 27965  df-ldual 28003  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tgrp 29621  df-tendo 29633  df-edring 29635  df-dveca 29881  df-disoa 29908  df-dvech 29958  df-dib 30018  df-dic 30052  df-dih 30108  df-doch 30227  df-djh 30274  df-lcdual 30466  df-mapd 30504  df-hvmap 30636  df-hdmap1 30673  df-hdmap 30674
  Copyright terms: Public domain W3C validator