Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem4N Unicode version

Theorem hdmaprnlem4N 30847
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmaprnlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmaprnlem1.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmaprnlem1.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmaprnlem1.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmaprnlem1.se  |-  ( ph  ->  s  e.  ( D 
\  { Q }
) )
hdmaprnlem1.ve  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
hdmaprnlem1.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
hdmaprnlem1.ue  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
hdmaprnlem1.un  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v } ) )
hdmaprnlem1.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmaprnlem1.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmaprnlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmaprnlem1.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmaprnlem1.t2  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem4N  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )

Proof of Theorem hdmaprnlem4N
StepHypRef Expression
1 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
2 hdmaprnlem1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 hdmaprnlem1.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 30101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
98, 1, 2lspsncl 15569 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  v  e.  V )  ->  ( N `  { v } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
106, 7, 9syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
11 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
12 eldifi 3215 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( ( N `
 { v } )  \  {  .0.  } )  ->  t  e.  ( N `  { v } ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( N `
 { v } ) )
141, 2, 6, 10, 13lspsnel5a 15588 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  C_  ( N `  { v } ) )
15 hdmaprnlem1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
163, 4, 5dvhlvec 30100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
178, 1lss1 15531 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LMod  ->  V  e.  ( LSubSp `  U )
)
186, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  ( LSubSp `  U ) )
191, 2, 6, 18, 7lspsnel5a 15588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  C_  V )
20 ssdif 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  { v } )  C_  V  ->  ( ( N `  { v } ) 
\  {  .0.  }
)  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2119, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { v } ) 
\  {  .0.  }
)  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2221, 11sseldd 3104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
238, 15, 2, 16, 22, 7lspsncmp 15704 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { t } ) 
C_  ( N `  { v } )  <-> 
( N `  {
t } )  =  ( N `  {
v } ) ) )
2414, 23mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  =  ( N `  {
v } ) )
2524fveq2d 5381 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( M `  ( N `  { v } ) ) )
26 hdmaprnlem1.e . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
2725, 26eqtrd 2285 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3075    C_ wss 3078   {csn 3544   ` cfv 4592   Basecbs 13022   +g cplusg 13082   0gc0g 13274   LModclmod 15462   LSubSpclss 15524   LSpanclspn 15563   HLchlt 28341   LHypclh 28974   DVecHcdvh 30069  LCDualclcd 30577  mapdcmpd 30615  HDMapchdma 30784
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  30850  hdmaprnlem9N  30851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-oposet 28167  df-ol 28169  df-oml 28170  df-covers 28257  df-ats 28258  df-atl 28289  df-cvlat 28313  df-hlat 28342  df-llines 28488  df-lplanes 28489  df-lvols 28490  df-lines 28491  df-psubsp 28493  df-pmap 28494  df-padd 28786  df-lhyp 28978  df-laut 28979  df-ldil 29094  df-ltrn 29095  df-trl 29149  df-tendo 29745  df-edring 29747  df-dvech 30070
  Copyright terms: Public domain W3C validator