Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem4N Unicode version

Theorem hdmaprnlem4N 32493
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmaprnlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmaprnlem1.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmaprnlem1.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmaprnlem1.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmaprnlem1.se  |-  ( ph  ->  s  e.  ( D 
\  { Q }
) )
hdmaprnlem1.ve  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
hdmaprnlem1.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
hdmaprnlem1.ue  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
hdmaprnlem1.un  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v } ) )
hdmaprnlem1.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmaprnlem1.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmaprnlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmaprnlem1.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmaprnlem1.t2  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem4N  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )

Proof of Theorem hdmaprnlem4N
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
2 hdmaprnlem1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 hdmaprnlem1.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
98, 1, 2lspsncl 16041 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  v  e.  V )  ->  ( N `  { v } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
106, 7, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
11 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
1211eldifad 3324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( N `
 { v } ) )
131, 2, 6, 10, 12lspsnel5a 16060 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  C_  ( N `  { v } ) )
14 hdmaprnlem1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
153, 4, 5dvhlvec 31746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
168, 1lss1 16003 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LMod  ->  V  e.  ( LSubSp `  U )
)
176, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  ( LSubSp `  U ) )
181, 2, 6, 17, 7lspsnel5a 16060 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  C_  V )
1918ssdifd 3475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { v } ) 
\  {  .0.  }
)  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2019, 11sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
218, 14, 2, 15, 20, 7lspsncmp 16176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { t } ) 
C_  ( N `  { v } )  <-> 
( N `  {
t } )  =  ( N `  {
v } ) ) )
2213, 21mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  =  ( N `  {
v } ) )
2322fveq2d 5723 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( M `  ( N `  { v } ) ) )
24 hdmaprnlem1.e . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
2523, 24eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5445   Basecbs 13457   +g cplusg 13517   0gc0g 13711   LModclmod 15938   LSubSpclss 15996   LSpanclspn 16035   HLchlt 29987   LHypclh 30620   DVecHcdvh 31715  LCDualclcd 32223  mapdcmpd 32261  HDMapchdma 32430
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  32496  hdmaprnlem9N  32497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-undef 6534  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-0g 13715  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-drng 15825  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lvec 16163  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-lplanes 30135  df-lvols 30136  df-lines 30137  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795  df-tendo 31391  df-edring 31393  df-dvech 31716
  Copyright terms: Public domain W3C validator