Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem4N Unicode version

Theorem hdmaprnlem4N 31313
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmaprnlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmaprnlem1.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmaprnlem1.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmaprnlem1.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmaprnlem1.se  |-  ( ph  ->  s  e.  ( D 
\  { Q }
) )
hdmaprnlem1.ve  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
hdmaprnlem1.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
hdmaprnlem1.ue  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
hdmaprnlem1.un  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v } ) )
hdmaprnlem1.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmaprnlem1.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmaprnlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmaprnlem1.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmaprnlem1.t2  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem4N  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )

Proof of Theorem hdmaprnlem4N
StepHypRef Expression
1 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
2 hdmaprnlem1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 hdmaprnlem1.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 30567 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
98, 1, 2lspsncl 15728 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  v  e.  V )  ->  ( N `  { v } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
106, 7, 9syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
11 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
12 eldifi 3299 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( ( N `
 { v } )  \  {  .0.  } )  ->  t  e.  ( N `  { v } ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( N `
 { v } ) )
141, 2, 6, 10, 13lspsnel5a 15747 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  C_  ( N `  { v } ) )
15 hdmaprnlem1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
163, 4, 5dvhlvec 30566 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
178, 1lss1 15690 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LMod  ->  V  e.  ( LSubSp `  U )
)
186, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  ( LSubSp `  U ) )
191, 2, 6, 18, 7lspsnel5a 15747 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  C_  V )
20 ssdif 3312 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  { v } )  C_  V  ->  ( ( N `  { v } ) 
\  {  .0.  }
)  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2119, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { v } ) 
\  {  .0.  }
)  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2221, 11sseldd 3182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
238, 15, 2, 16, 22, 7lspsncmp 15863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { t } ) 
C_  ( N `  { v } )  <-> 
( N `  {
t } )  =  ( N `  {
v } ) ) )
2414, 23mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  =  ( N `  {
v } ) )
2524fveq2d 5489 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( M `  ( N `  { v } ) ) )
26 hdmaprnlem1.e . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
2725, 26eqtrd 2316 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688    \ cdif 3150    C_ wss 3153   {csn 3641   ` cfv 5221   Basecbs 13142   +g cplusg 13202   0gc0g 13394   LModclmod 15621   LSubSpclss 15683   LSpanclspn 15722   HLchlt 28807   LHypclh 29440   DVecHcdvh 30535  LCDualclcd 31043  mapdcmpd 31081  HDMapchdma 31250
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  31316  hdmaprnlem9N  31317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-0g 13398  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-mnd 14361  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-drng 15508  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-lvec 15850  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444  df-laut 29445  df-ldil 29560  df-ltrn 29561  df-trl 29615  df-tendo 30211  df-edring 30213  df-dvech 30536
  Copyright terms: Public domain W3C validator