Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem8N Unicode version

Theorem hdmaprnlem8N 32388
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19, s-St  e. (Ft)* = T*. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmaprnlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmaprnlem1.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmaprnlem1.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmaprnlem1.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmaprnlem1.se  |-  ( ph  ->  s  e.  ( D 
\  { Q }
) )
hdmaprnlem1.ve  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
hdmaprnlem1.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
hdmaprnlem1.ue  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
hdmaprnlem1.un  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v } ) )
hdmaprnlem1.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmaprnlem1.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmaprnlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmaprnlem1.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmaprnlem1.t2  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
hdmaprnlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmaprnlem1.pt  |-  ( ph  ->  ( L `  {
( ( S `  u )  .+b  s
) } )  =  ( M `  ( N `  { (
u  .+  t ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem8N  |-  ( ph  ->  ( s ( -g `  C ) ( S `
 t ) )  e.  ( M `  ( N `  { t } ) ) )

Proof of Theorem hdmaprnlem8N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmaprnlem1.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 hdmaprnlem1.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 32121 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 hdmaprnlem1.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 hdmaprnlem1.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2430 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
8 eqid 2430 . . 3  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
91, 6, 3dvhlmod 31639 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 hdmaprnlem1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 hdmaprnlem1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
12 hdmaprnlem1.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSpan `  C )
13 hdmaprnlem1.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
14 hdmaprnlem1.se . . . . 5  |-  ( ph  ->  s  e.  ( D 
\  { Q }
) )
15 hdmaprnlem1.ve . . . . 5  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
16 hdmaprnlem1.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
17 hdmaprnlem1.ue . . . . 5  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
18 hdmaprnlem1.un . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v } ) )
19 hdmaprnlem1.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
20 hdmaprnlem1.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
21 hdmaprnlem1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
22 hdmaprnlem1.a . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
23 hdmaprnlem1.t2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
241, 6, 10, 11, 2, 12, 5, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23hdmaprnlem4tN 32384 . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  V )
2510, 7, 11lspsncl 16036 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  t  e.  V )  ->  ( N `  { t } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
269, 24, 25syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
271, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 26mapdcl2 32185 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
2814eldifad 3319 . . . 4  |-  ( ph  ->  s  e.  D )
2919, 12lspsnid 16052 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  ( L `  {
s } ) )
304, 28, 29syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  s  e.  ( L `
 { s } ) )
311, 6, 10, 11, 2, 12, 5, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23hdmaprnlem4N 32385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
3230, 31eleqtrrd 2507 . 2  |-  ( ph  ->  s  e.  ( M `
 ( N `  { t } ) ) )
331, 6, 10, 2, 19, 13, 3, 24hdmapcl 32362 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  t
)  e.  D )
3419, 12lspsnid 16052 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( S `  t )  e.  D )  ->  ( S `  t )  e.  ( L `  {
( S `  t
) } ) )
354, 33, 34syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  t
)  e.  ( L `
 { ( S `
 t ) } ) )
361, 6, 10, 11, 2, 12, 5, 13, 3, 24hdmap10 32372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
( S `  t
) } ) )
3735, 36eleqtrrd 2507 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  t
)  e.  ( M `
 ( N `  { t } ) ) )
38 eqid 2430 . . 3  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
3938, 8lssvsubcl 16003 . 2  |-  ( ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { t } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)  /\  ( s  e.  ( M `  ( N `  { t } ) )  /\  ( S `  t )  e.  ( M `  ( N `  { t } ) ) ) )  ->  ( s
( -g `  C ) ( S `  t
) )  e.  ( M `  ( N `
 { t } ) ) )
404, 27, 32, 37, 39syl22anc 1185 1  |-  ( ph  ->  ( s ( -g `  C ) ( S `
 t ) )  e.  ( M `  ( N `  { t } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3304   {csn 3801   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   Basecbs 13452   +g cplusg 13512   0gc0g 13706   -gcsg 14671   LModclmod 15933   LSubSpclss 15991   LSpanclspn 16030   HLchlt 29879   LHypclh 30512   DVecHcdvh 31607  LCDualclcd 32115  mapdcmpd 32153  HDMapchdma 32322
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  32389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-ot 3811  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-undef 6529  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-fz 11028  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-0g 13710  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-p1 14452  df-lat 14458  df-clat 14520  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-subg 14924  df-cntz 15099  df-oppg 15125  df-lsm 15253  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-dvr 15771  df-drng 15820  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-lvec 16158  df-lsatoms 29505  df-lshyp 29506  df-lcv 29548  df-lfl 29587  df-lkr 29615  df-ldual 29653  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-llines 30026  df-lplanes 30027  df-lvols 30028  df-lines 30029  df-psubsp 30031  df-pmap 30032  df-padd 30324  df-lhyp 30516  df-laut 30517  df-ldil 30632  df-ltrn 30633  df-trl 30687  df-tgrp 31271  df-tendo 31283  df-edring 31285  df-dveca 31531  df-disoa 31558  df-dvech 31608  df-dib 31668  df-dic 31702  df-dih 31758  df-doch 31877  df-djh 31924  df-lcdual 32116  df-mapd 32154  df-hvmap 32286  df-hdmap1 32323  df-hdmap 32324
  Copyright terms: Public domain W3C validator