Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapsub Unicode version

Theorem hdmapsub 31308
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 5, (a-b)S = aS-bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12c.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12c.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12c.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12c.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap12c.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap12c.n  |-  N  =  ( -g `  C
)
hdmap12c.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12c.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12c.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap12c.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapsub  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( S `
 X ) N ( S `  Y
) ) )

Proof of Theorem hdmapsub
StepHypRef Expression
1 hdmap12c.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 hdmap12c.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3 hdmap12c.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
5 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( inv g `  U )  =  ( inv g `  U )
6 hdmap12c.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
73, 4, 5, 6grpsubval 14520 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  U
) ( ( inv g `  U ) `
 Y ) ) )
81, 2, 7syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  U
) ( ( inv g `  U ) `
 Y ) ) )
98fveq2d 5490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .-  Y ) )  =  ( S `  ( X ( +g  `  U
) ( ( inv g `  U ) `
 Y ) ) ) )
10 hdmap12c.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 hdmap12c.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
12 hdmap12c.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
13 eqid 2285 . . . 4  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
14 hdmap12c.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
15 hdmap12c.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1610, 11, 15dvhlmod 30568 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
173, 5lmodvnegcl 15660 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( inv g `  U ) `  Y
)  e.  V )
1816, 2, 17syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  U ) `  Y
)  e.  V )
1910, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 1, 18hdmapadd 31304 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X ( +g  `  U
) ( ( inv g `  U ) `
 Y ) ) )  =  ( ( S `  X ) ( +g  `  C
) ( S `  ( ( inv g `  U ) `  Y
) ) ) )
20 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( inv g `  C )  =  ( inv g `  C )
2110, 11, 3, 5, 12, 20, 14, 15, 2hdmapneg 31307 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  (
( inv g `  U ) `  Y
) )  =  ( ( inv g `  C ) `  ( S `  Y )
) )
2221oveq2d 5836 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) ( +g  `  C ) ( S `
 ( ( inv g `  U ) `
 Y ) ) )  =  ( ( S `  X ) ( +g  `  C
) ( ( inv g `  C ) `
 ( S `  Y ) ) ) )
239, 19, 223eqtrd 2321 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( S `
 X ) ( +g  `  C ) ( ( inv g `  C ) `  ( S `  Y )
) ) )
24 eqid 2285 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2510, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 1hdmapcl 31291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  ( Base `  C ) )
2610, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 2hdmapcl 31291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  Y
)  e.  ( Base `  C ) )
27 hdmap12c.n . . . 4  |-  N  =  ( -g `  C
)
2824, 13, 20, 27grpsubval 14520 . . 3  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  ( Base `  C )  /\  ( S `  Y )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
( S `  X
) N ( S `
 Y ) )  =  ( ( S `
 X ) ( +g  `  C ) ( ( inv g `  C ) `  ( S `  Y )
) ) )
2925, 26, 28syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) N ( S `  Y ) )  =  ( ( S `  X ) ( +g  `  C
) ( ( inv g `  C ) `
 ( S `  Y ) ) ) )
3023, 29eqtr4d 2320 1  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( S `
 X ) N ( S `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   Basecbs 13143   +g cplusg 13203   inv gcminusg 14358   -gcsg 14360   LModclmod 15622   HLchlt 28808   LHypclh 29441   DVecHcdvh 30536  LCDualclcd 31044  HDMapchdma 31251
This theorem is referenced by:  hdmap11  31309  hdmapinvlem3  31381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-ot 3652  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10778  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-0g 13399  df-mre 13483  df-mrc 13484  df-acs 13486  df-poset 14075  df-plt 14087  df-lub 14103  df-glb 14104  df-join 14105  df-meet 14106  df-p0 14140  df-p1 14141  df-lat 14147  df-clat 14209  df-mnd 14362  df-submnd 14411  df-grp 14484  df-minusg 14485  df-sbg 14486  df-subg 14613  df-cntz 14788  df-oppg 14814  df-lsm 14942  df-cmn 15086  df-abl 15087  df-mgp 15321  df-rng 15335  df-ur 15337  df-oppr 15400  df-dvdsr 15418  df-unit 15419  df-invr 15449  df-dvr 15460  df-drng 15509  df-lmod 15624  df-lss 15685  df-lsp 15724  df-lvec 15851  df-lsatoms 28434  df-lshyp 28435  df-lcv 28477  df-lfl 28516  df-lkr 28544  df-ldual 28582  df-oposet 28634  df-ol 28636  df-oml 28637  df-covers 28724  df-ats 28725  df-atl 28756  df-cvlat 28780  df-hlat 28809  df-llines 28955  df-lplanes 28956  df-lvols 28957  df-lines 28958  df-psubsp 28960  df-pmap 28961  df-padd 29253  df-lhyp 29445  df-laut 29446  df-ldil 29561  df-ltrn 29562  df-trl 29616  df-tgrp 30200  df-tendo 30212  df-edring 30214  df-dveca 30460  df-disoa 30487  df-dvech 30537  df-dib 30597  df-dic 30631  df-dih 30687  df-doch 30806  df-djh 30853  df-lcdual 31045  df-mapd 31083  df-hvmap 31215  df-hdmap1 31252  df-hdmap 31253
  Copyright terms: Public domain W3C validator